Teorija

4. Tjedan

• Vektori. Koordinatizacija. Jedinični vektor i kosinusi smjerova. Linearna nezavisnost. Skalarni, vektorski i mješoviti produkt.

1. Vektori

Vektori su osnovni matematički alati koji se koriste za opisivanje veličina koje imaju smjer i intenzitet. U svakodnevnoj primjeni susrećemo ih u fizici, računanju brzine, sile ili položaja. Oni se predstavljaju kao uređeni parovi (u ravnini) ili trojke (u prostoru), što znači da svaki vektor ima specifične komponente koje određuju njegov smjer i veličinu.

---

1.1. Definicija vektora

Vektor se može definirati na dva načina:

1. Kao uređeni par ili trojka brojeva:

   • Vektor u ravnini zapisujemo kao:
     $\vec{v} = (v_1, v_2)$
   • Vektor u prostoru zapisujemo kao:
     $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$

2. Geometrijska interpretacija:
   Vektor se prikazuje kao strelica. Duljina strelice označava veličinu (magnitudu) vektora, dok njezin smjer pokazuje orijentaciju.

Primjer:
Vektor $\vec{a} = (3, 4)$ ima duljinu 5 i smjer prema točki (3, 4) u ravnini.

---

2. Vrste vektora

1. Slobodni i vezani vektori:

   • Slobodni vektori nisu vezani za određenu točku u prostoru; možemo ih slobodno pomicati.
   • Vezani vektori definirani su u točno određenoj točki prostora.

2. Nulti vektor i jedinični vektor:

   • Nulti vektor ($\vec{0}$) ima duljinu 0 i nema definiran smjer.
   • Jedinični vektor ($\vec{u}$) ima duljinu 1 i koristi se za označavanje smjera.

---

2. Osnovne operacije s vektorima

2. Zbrajanje i oduzimanje vektora

1. Pravilo paralelograma:
   Zbroj dva vektora $\vec{a}$ i $\vec{b}$ dobiva se konstrukcijom paralelograma. Dijagonala paralelograma predstavlja njihov zbroj.

2. Pravilo trokuta:
   Vektori se "slažu" jedan za drugim tako da kraj prvog vektora dodiruje početak drugog.

3. Komponentna metoda:
   Ako su vektori zadani komponentama, njihovo zbrajanje je jednostavno:
   $\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3)$

Primjer:
$\vec{a} = (1, 2, 3), \, \vec{b} = (4, 5, 6)$
$\vec{a} + \vec{b} = (5, 7, 9)$

---

3. Skalarni, vektorski i mješoviti umnožak

1. Skalarni produkt (dot product)

Skalarni produkt dvaju vektora je operacija koja daje skalar kao rezultat. Koristi se za izračunavanje kuta između vektora, određivanje ortogonalnosti i projiciranje jednog vektora na drugi.

Definicija:
Skalarni produkt vektora $\vec{a}$ i $\vec{b}$ definiran je kao:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \varphi$

Ovdje:

• $|\vec{a}|$ i $|\vec{b}|$ su duljine vektora,
• $\varphi$ je kut između vektora.

Skalarni produkt ima svojstvo komutativnosti:
${\vec{a}} \cdot {\vec{b}} = {\vec{b}} \cdot {\vec{a}}$

Računanje u koordinatnom sustavu:
Ako su vektori zadani svojim komponentama:
$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3), \, \vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$
tada je:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$

Primjer:
Za $\vec{a} = (1, 2, 3)$ i $\vec{b} = (4, -5, 6)$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(4) + (2)(-5) + (3)(6) = 4 - 10 + 18 = 12$

---

2. Vektorski produkt (cross product)

Vektorski produkt dvaju vektora definiran je kao vektor koji je okomit na oba vektora, a njegova veličina odgovara površini paralelograma kojeg zatvaraju ti vektori.

Definicija:
$\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \varphi \cdot \vec{n}$

Ovdje:

• $\varphi$ je kut između vektora $\vec{a}$ i $\vec{b}$,
• $\vec{n}$ je jedinični vektor okomit na ravninu određenu vektorima $\vec{a}$ i $\vec{b}$ (prema pravilu desne ruke).

Računanje u koordinatnom sustavu:
Ako su vektori zadani komponentama:
$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3), \, \vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$
tada je:
$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$

Rezultat je novi vektor:
$\vec{a} \times \vec{b} = \left( a_2 b_3 - a_3 b_2 \right) \vec{i} - \left( a_1 b_3 - a_3 b_1 \right) \vec{j} + \left( a_1 b_2 - a_2 b_1 \right) \vec{k}$

Primjer:
Za $\vec{a} = (1, 2, 3)$ i $\vec{b} = (4, 5, 6)$:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix} = \vec{i}(2\cdot 6 - 3 \cdot 5) - \vec{j}(1 \cdot 6 - 3 \cdot 4) + \vec{k}(1 \cdot 5 - 2 \cdot 4)$

$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{i}(-3) - \vec{j}(-6) + \vec{k}(-3) = -3 \vec{i} + 6 \vec{j} - 3 \vec{k}$

---

3. Mješoviti produkt (triple product)

Mješoviti produkt je operacija koja uključuje tri vektora i daje skalar kao rezultat. Njime se opisuje volumen paralelopipeda definiranog s ta tri vektora.

Definicija:
$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$

Ovdje:

• $\vec{b} \times \vec{c}$ je vektor koji je okomit na ravninu određenu s $\vec{b}$ i $\vec{c}$,
• $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ je skalar koji predstavlja volumen paralelopipeda.

Računanje u koordinatnom sustavu:
Ako su vektori zadani komponentama:
$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3), \, \vec{b} = (b_1, b_2, b_3), \, \vec{c} = (c_1, c_2, c_3)$
tada je:
$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}$

Primjer:
Za $\vec{a} = (1, 2, 3)$, $\vec{b} = (4, 5, 6)$ i $\vec{c} = (7, 8, 9)$:
$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}$

Računanjem determinante:
$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3 \cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 0$

Rezultat je 0 jer su vektori linearan ovisni (nalaze se u istoj ravnini).

---

4. Koordinatizacija

1. Predstavljanje vektora u koordinatnom sustavu

Vektor se predstavlja svojim komponentama u odnosu na osni sustav koordinata. Na primjer:

• U ravnini: $\vec{v} = (v_1, v_2)$
• U prostoru: $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$

2. Dužina vektora

Duljina ili magnituda vektora izračunava se pomoću Pitagorinog poučka:
$|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$

Primjer:
Za $\vec{v} = (3, 4, 0)$:
$|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

---

5. Jedinični vektor i kosinusi smjerova

1. Jedinični vektor

Jedinični vektor ima duljinu 1 i računa se prema formuli:
$\vec{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$

Primjer:
Ako je $\vec{v} = (3, 4)$:
$\vec{u} = \frac{(3, 4)}{5} = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$

2. Kosinusi smjerova

Kosinusi smjerova određuju kuteve koje vektor zatvara s koordinatnim osima:
$\cos \alpha = \frac{v_1}{|\vec{v}|}, \, \cos \beta = \frac{v_2}{|\vec{v}|}, \, \cos \gamma = \frac{v_3}{|\vec{v}|}$

Vježbe

zadaci

Ispit

Koja od sljedećih tvrdnji o skalarnoj množenju vektora nije točna?

Rezultat skalarne množenja vektora uvijek je skalar.

Skalarno množenje vektora ovisi o redoslijedu vektora.

Skalarni produkt može biti jednak nuli ako su vektori ortogonalni.

Skalarni produkt može se koristiti za provjeru ortogonalnosti vektora.

Ako su $\vec{a} = (2, 3, -1)$ i $\vec{b} = (4, -2, 1)$, koliki je kut između njih?

0°

45°

90°

135°

Rezultat vektorskog produkta dvaju paralelnih vektora je:

Nulti vektor

Jedinični vektor

Skalar

Vektor okomit na oba ulazna vektora

Koji je volumen paralelopipeda definiran vektorima $\vec{a} = (1, 0, 0)$, $\vec{b} = (0, 1, 0)$ i $\vec{c} = (0, 0, 1)$?

0

1/2

2

1

Koji je jedinični vektor u smjeru $\vec{v} = (3, -4, 0)$?

$(1/5, -4/5, 0)$

$(3/5, -4/5, 0)$

$(3, -4, 0)$

$(0.6, -0.8, 0)$

Ako je vektor $\vec{u} = (2, -1, 4)$ i $\vec{v} = (1, 3, -2)$, koliki je $\vec{u} \cdot \vec{v}$?

-14

10

-12

6

Što se događa s duljinom vektora ako ga množimo skalarom -2?

Duljina se udvostručuje, a smjer se mijenja.

Duljina ostaje ista, smjer se mijenja.

Duljina i smjer ostaju isti.

Duljina se prepolavlja, a smjer ostaje isti.

Ako je $\vec{u} = (1, 2, 3)$, a $\vec{v} = (-1, 0, 4)$, koliki je $\vec{u} \times \vec{v}$?

$(2, -5, 2)$

$(3, 2, 5)$

$(2, 3, -5)$

$(8, -7, 2)$

Koja od tvrdnji o linearno nezavisnim vektorima nije točna?

Linearno nezavisni vektori ne mogu se izraziti kao linearna kombinacija drugih.

Baza prostora je maksimalan skup linearno nezavisnih vektora.

Linearno nezavisni vektori uvijek imaju istu duljinu.

Dimenzija prostora je broj vektora u bazi.

Koliki je rezultat $\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ ako su vektori u istoj ravnini?

0

1

Ne može se izračunati

Jednak je duljini $\vec{u}$