Teorija

5. Tjedan

• Pravci, Ravnine i Analitička geometrija

1. Jednadžbe pravca

1. Jednadžba pravca u ravnini

• Standardna forma:
  Jednadžba pravca u ravnini može biti predstavljena kao:
  $ax + by = c$
  gdje $a$ i $b$ nisu oba nula. Ova jednadžba opisuje pravac u ravnini, gdje je $a$ koeficijent uz $x$, $b$ koeficijent uz $y$, a $c$ je konstantna vrijednost.

• Generalna forma:
  Jednadžba pravca također se može izraziti u generalnoj formi:
  $Ax + By + C = 0$
  gdje su $A$, $B$ i $C$ konstante. Ova forma je također prikladna za opisivanje pravca u ravnini.

• Jednadžba pravca u parametarskom obliku:
  Parametarski oblik pravca koristi parametar $t$ za parametriziranje svih točaka na pravcu. To je oblik:
  $\vec{r}(t) = \vec{r_0} + t \cdot \vec{v}$
  gdje je $\vec{r_0}$ točka na pravcu, $\vec{v}$ vektor smjera pravca, a $t$ parametar.

Primjer:

Za pravac s jednadžbom $2x + 3y = 6$, možemo odabrati točku $P_0(0, 2)$ koja zadovoljava ovu jednadžbu, a vektor smjera može biti $\vec{v} = (3, -2)$.
Parametarski oblik pravca je:
$\vec{r}(t) = (0, 2) + t \cdot (3, -2) = (3t, 2 - 2t)$

---

2. Jednadžba pravca u vektorskom obliku

Vektorski oblik pravca u ravnini također koristi parametar $t$ za označavanje svih točaka na pravcu, a može biti napisan kao:
$\vec{r} = \vec{r_0} + t \cdot \vec{v}$
gdje je $\vec{r_0}$ početna točka na pravcu, $\vec{v}$ je vektor smjera pravca, a $t$ parametar.

Primjer:

Ako imamo pravac kroz točku $\vec{r_0} = (1, 1)$ s vektorom smjera $\vec{v} = (2, 3)$, vektorski oblik pravca je:
$\vec{r}(t) = (1, 1) + t \cdot (2, 3) = (1 + 2t, 1 + 3t)$

---

3. Kosi kut između dva pravca

Kut između dvaju pravaca ovisi o vektorima smjera tih pravaca. Ako su $\vec{v_1}$ i $\vec{v_2}$ vektori smjera dvaju pravaca, kosinus kuta $\theta$ između tih pravaca može se izračunati pomoću skalarnog produkta:
$\cos \theta = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$

Primjer:

Za pravce s vektorima smjera $\vec{v_1} = (1, 2)$ i $\vec{v_2} = (3, -4)$, izračunajmo kut između njih.

1. Skalarni produkt:
   $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (1)(3) + (2)(-4) = 3 - 8 = -5$

2. Duljine vektora:
   $|\vec{v_1}| = \sqrt{(1)^2 + (2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$
   $|\vec{v_2}| = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

3. Kosinus kuta:
   $\cos \theta = \frac{-5}{\sqrt{5} \cdot 5} = \frac{-5}{5\sqrt{5}} = \frac{-1}{\sqrt{5}}$

4. Kut $\theta$:
   $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{5}}\right)$

---

2. Jednadžbe ravnine

1. Jednadžba ravnine u prostoru

• Standardna forma:
  Jednadžba ravnine u prostoru može biti napisana kao:
  $ax + by + cz = d$
  gdje su $a$, $b$ i $c$ koeficijenti normalnog vektora $\vec{n} = (a, b, c)$ ravnine.

• Generalna forma:
  Generalna forma jednadžbe ravnine je:
  $Ax + By + Cz + D = 0$
  gdje su $A$, $B$, $C$ i $D$ konstante.

2. Jednadžba ravnine u vektorskom obliku

Ako je $\vec{r_0}$ točka na ravnini, a $\vec{n}$ je normalni vektor ravnine, tada je jednadžba ravnine:
$(\vec{r} - \vec{r_0}) \cdot \vec{n} = 0$
gdje je $\vec{r}$ opća točka na ravnini.

Primjer:

Ako imamo ravninu čiji je normalni vektor $\vec{n} = (2, -3, 1)$ i točku na ravnini $\vec{r_0} = (1, 2, 3)$, jednadžba ravnine bit će:
$(\vec{r} - (1, 2, 3)) \cdot (2, -3, 1) = 0$
Razvijanje:
$(x - 1) \cdot 2 + (y - 2) \cdot (-3) + (z - 3) \cdot 1 = 0$
$2x - 2 - 3y + 6 + z - 3 = 0$
$2x - 3y + z = -1$

---

3. Parametarski oblik ravnine

Za ravninu definiranu s dvije točke $\vec{r_0}$ i $\vec{r_1}$ te vektorima $\vec{v_1}$ i $\vec{v_2}$, parametarski oblik ravnine je:
$\vec{r}(u, v) = \vec{r_0} + u \cdot \vec{v_1} + v \cdot \vec{v_2}$
gdje su $u$ i $v$ parametri.

Primjer:

Ako imamo ravninu definiranu s točkom $\vec{r_0} = (0, 0, 0)$, $\vec{v_1} = (1, 0, 0)$, i $\vec{v_2} = (0, 1, 0)$, parametarski oblik ravnine bit će:
$\vec{r}(u, v) = (0, 0, 0) + u \cdot (1, 0, 0) + v \cdot (0, 1, 0) = (u, v, 0)$

---

4. Kut između ravnina

Kosinus kuta između dviju ravnina s normalnim vektorima $\vec{n_1}$ i $\vec{n_2}$ izračunava se pomoću skalarnih produkta:
$\cos \theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$

Primjer:

Za ravnine s normalnim vektorima $\vec{n_1} = (1, 2, 3)$ i $\vec{n_2} = (4, 5, 6)$, izračunajmo kut između njih:

1. Skalarni produkt:
   $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(4) + (2)(5) + (3)(6) = 4 + 10 + 18 = 32$

2. Duljine vektora:
   $|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}, \quad |\vec{n_2}| = \sqrt{4^2 + 5^2 + 6^2} = \sqrt{77}$

3. Kosinus kuta:
   $\cos \theta = \frac{32}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{77}} = \frac{32}{\sqrt{1078}} \approx 0.967$

4. Kut $\theta$:
   $\theta = \cos^{-1}(0.967) \approx 14.93^\circ$

---

3. Primjene analitičke geometrije

1. Izračunavanje udaljenosti od točke do pravca i ravnine

• Udaljenost točke od pravca:
  Udaljenost točke $P(x_1, y_1)$ od pravca $ax + by + c = 0$ izračunava se pomoću formule:
  $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

• Udaljenost točke od ravnine:
  Udaljenost točke $P(x_1, y_1, z_1)$ od ravnine $ax + by + cz + d = 0$ izračunava se pomoću formule:
  $d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Primjer:

Za pravac $2x + 3y = 6$ i točku $P(1, 2)$, udaljenost se računa kao:

$d = \frac{|2(1) + 3(2) - 6|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{|2 + 6 - 6|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{2}{\sqrt{13}} \approx 0.554$

Za ravninu $3x - 4y + 5z = 12$ i točku $P(1, 1, 1)$, udaljenost se računa kao:

$d = \frac{|3(1) - 4(1) + 5(1) - 12|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 5^2}} = \frac{|3 - 4 + 5 - 12|}{\sqrt{9 + 16 + 25}} = \frac{8}{\sqrt{50}} \approx 1.131$

---

4. Daljnje primjene analitičke geometrije

1. Izračunavanje točke presjeka dvaju pravaca

Kada se dva pravca u ravnini presijecaju, možemo pronaći njihovu točku presjeka rješavanjem sustava dviju linearnih jednadžbi. Ako su pravci opisani jednadžbama:
$a_1x + b_1y = c_1$
$a_2x + b_2y = c_2$
točka presjeka $(x, y)$ može se dobiti korištenjem metode eliminacije ili supstitucije.

Koraci:

1. Pomnožimo obje jednadžbe tako da se eliminira jedna od varijabli (obično $x$ ili $y$).
2. Riješimo sustav za preostalu varijablu.
3. Uvrstimo dobivenu vrijednost u jednu od originalnih jednadžbi da bismo dobili vrijednost druge varijable.

Primjer:

Za pravce:
$2x + 3y = 6$
$4x - y = 5$

1. Pomnožimo drugu jednadžbu s 3 kako bismo eliminirali $y$:
   $12x - 3y = 15$
2. Sada imamo sustav:
   $2x + 3y = 6$
   $12x - 3y = 15$
3. Zbrojimo ove dvije jednadžbe:
   $14x = 21$
4. Riješimo za $x$:
   $x = \frac{21}{14} = 1.5$
5. Uvrstimo $x = 1.5$ u prvu jednadžbu:
   $2(1.5) + 3y = 6 \quad \Rightarrow \quad 3 + 3y = 6 \quad \Rightarrow \quad 3y = 3 \quad \Rightarrow \quad y = 1$

Točka presjeka je $(1.5, 1)$.

---

2. Izračunavanje udaljenosti između dvije ravnine

Udaljenost između dvije paralelne ravnine može se izračunati pomoću formule za udaljenost između točke i ravnine. Ako su ravnine opisane jednadžbama:

$ax + by + cz + d_1 = 0$
$ax + by + cz + d_2 = 0$

udaljenost između ravnina je:

$d = \frac{|d_2 - d_1|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Primjer:

Za ravnine $2x + 3y + 4z = 6$ i $2x + 3y + 4z = 10$, udaljenost je:
$d = \frac{|10 - 6|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2}} = \frac{4}{\sqrt{4 + 9 + 16}} = \frac{4}{\sqrt{29}} \approx 0.743$

---

3. Transformacije u analitičkoj geometriji

Transformacije u analitičkoj geometriji omogućuju pomicanje, rotiranje, skaliranje ili refleksiju objekata u ravnini ili prostoru. Ove transformacije mogu se predstaviti pomoću matrica.

• Pomak: Točka $(x, y)$ pomiče se za $dx$ u smjeru $x$-osi i za $dy$ u smjeru $y$-osi. Matrična transformacija za pomak je:

  $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & dx \\ 0 & 1 & dy \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\1 \end{pmatrix}$

• Rotacija: Točka $(x, y)$ rotira se za kut $\theta$ oko ishodišta. Matrična transformacija za rotaciju je:

  $\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\\sin \theta & \cos \theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}$

• Skaliranje: Točka $(x, y)$ skalira se za faktore $sx$ i $sy$ u smjeru $x$- i $y$-osi. Matrična transformacija za skaliranje je:

  $\begin{pmatrix}x' \\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}sx & 0 \\0 & sy\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}$

• Refleksija: Točka $(x, y)$ reflektira se oko osovine ili ravnine. Matrična transformacija za refleksiju o $x$-osi je:

  $\begin{pmatrix}x' \\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}$

Primjer:

Ako želimo rotirati točku $(1, 0)$ za $90^\circ$, koristit ćemo matricu rotacije:

$\begin{pmatrix}x' \\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\\sin 90^\circ & \cos 90^\circ\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & -1 \\1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix}$

Dakle, nakon rotacije, nova točka je $(0, 1)$.

Vježbe

zadaci

Ispit

Koja je standardna forma jednadžbe pravca u ravnini?

$ax + by = c$

$Ax + By + C = 0$

$y = mx + b$

$\vec{r}(t) = \vec{r_0} + t cdot \vec{v}$

Koja je generalna forma jednadžbe ravnine u prostoru?

$ax + by + cz = d$

$Ax + By + Cz + D = 0$

$\vec{r}(u, v) = \vec{r_0} + u cdot \vec{v_1} + v cdot \vec{v_2}$

$(\vec{r} - \vec{r_0}) cdot \vec{n} = 0$

Kako se izračunava kut između dvaju pravaca s vektorima smjera $\vec{v_1}$ i $\vec{v_2}$?

$\sin \varphi = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$

$\tan \varphi = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$

$\cos \varphi = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$

$\cot \varphi = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$

Koja je formula za udaljenost točke $P(x_1, y_1)$ od pravca $ax + by + c = 0$?

$d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{a^2 + b^2}$

$d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{sqrt{a + b}}$

$d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{a + b}$

$d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{sqrt{a^2 + b^2}}$

Koja je jednadžba ravnine u vektorskom obliku ako je $\vec{r_0}$ točka na ravnini, a $\vec{n}$ je normalni vektor ravnine?

$(\vec{r} - \vec{r_0}) cdot \vec{n} = 0$

$\vec{r} = \vec{r_0} + t cdot \vec{v}$

$\vec{r}(u, v) = \vec{r_0} + u cdot \vec{v_1} + v cdot \vec{v_2}$

$ax + by + cz = d$

Kako se izračunava udaljenost između dvije paralelne ravnine $ax + by + cz + d_1 = 0$ i $ax + by + cz + d_2 = 0$?

$d = \frac{|d_2 - d_1|}{a + b + c}$

$d = \frac{|d_2 - d_1|}{sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

$d = \frac{|d_2 - d_1|}{a^2 + b^2 + c^2}$

$d = \frac{|d_2 - d_1|}{sqrt{a + b + c}}$

Koja je parametarska jednadžba pravca kroz točku $\vec{r_0} = (1, 1)$ s vektorom smjera $\vec{v} = (2, 3)$?

$\vec{r}(t) = (1, 1) + t cdot (3, 2)$

$\vec{r}(t) = (2, 3) + t cdot (1, 1)$

$\vec{r}(t) = (1, 1) + t cdot (2, 3)$

$\vec{r}(t) = (2, 3) + t cdot (1, 1)$

Koja je formula za kosinus kuta između dviju ravnina s normalnim vektorima $\vec{n_1}$ i $\vec{n_2}$?

$\sin \varphi = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$

$\tan \varphi = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$

$\cot \varphi = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$

$\cos \varphi = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$

Koja je jednadžba ravnine u parametarskom obliku ako je $\vec{r_0} = (0, 0, 0)$, $\vec{v_1} = (1, 0, 0)$ i $\vec{v_2} = (0, 1, 0)$?

$\vec{r}(u, v) = (u, v, 0)$

$\vec{r}(u, v) = (u, 0, v)$

$\vec{r}(u, v) = (0, u, v)$

$\vec{r}(u, v) = (u, v, 1)$

Kako se izračunava točka presjeka pravaca $2x + 3y = 6$ i $4x - y = 5$?

$(1, 1)$

$(1.5, 1)$

$(2, 0)$

$(0, 2)$