Teorija

10. Tjedan

• Lekcija: Magnetizam, magnetsko polje i osnovni zakoni magnetskog polja

---

1.1. Uvod u magnetizam

Pojava magnetizma

• Magnetizam je posljedica gibanja električnih naboja (struje ili orbitalno/spinsko kretanje elektrona u atomima).
• Prirodni magneti: mineral magnetit.
• Umjetni magneti: trajni (feriti, legure) ili elektromagneti (struja kroz zavojnicu).

Vrste materijala prema magnetskim svojstvima

1. Dijamagnetici: slabo odbijaju magnetsko polje (suspenzija magnetnih dipola).
2. Paramagnetici: slabo privlače magnetsko polje, ali nema trajne magnetizacije po uklanjanju polja.
3. Feromagnetici: snažno privlače polje, mogu zadržati trajnu magnetizaciju (željezo, nikal, kobalt).

Magnetni dipoli

• Magnetni moment atoma ili molekula često vezan uz spin elektrona ili kruženje elektrona.
• Kada se materijal izloži magnetskom polju, dipolni momenti se orijentiraju → magnetizacija $\vec{M}$.

---

1.2. Magnetsko polje

Definicija magnetskog polja

• Magnetsko polje je vektorsko polje koje se javlja oko gibajućih električnih naboja ili magneta.
• Mjerimo ga preko dviju povezanih veličina:
  1. Magnetska indukcija $\vec{B}$ (SI jedinica: Tesla $\mathrm{T}$),
  2. Jakost magnetskog polja $\vec{H}$ (SI jedinica: $\mathrm{A/m}$).

Magnetske silnice

• Linije magnetskih silnica uvijek su zatvorene (nema “magnetskih monopola”), što znači da magnetske silnice izlaze iz jednog dijela magneta i ulaze u drugi (sjeverni i južni pol).

Izvori magnetskog polja

1. Električna struja: struja u vodiču stvara magnetsko polje oko vodiča (Amperov zakon).
2. Trajni magneti: imaju feromagnetsku unutarnju strukturu, zasićene domene i stalno magnetno polje.

---

1.3. Osnovni zakoni magnetskog polja

1.3.1. Ampereov zakon

Izjava zakona

Ampereov zakon u integralnom obliku kaže da je cirkulacija jakosti magnetskog polja $\vec{H}$ po zatvorenoj konturi jednaka struji provodnosti $I$ koja probija tu konturu:

$$\oint \vec{H} \cdot d\vec{l} = I.$$

Ako imamo magnetsku permeabilnost $\mu = \mu_r \mu_0$, tada se često radije piše:

$$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \, I_{\text{uk}} \quad (\text{u vakuumu}),$$

ovisno o prikazu. Za linearan srednji:

$$\vec{B} = \mu \,\vec{H}.$$

Primjena

• Magnetsko polje oko ravnog vodiča (cilindrična simetrija).
• Magnetno polje u solenoidu ili toroidalnoj zavojnici.

1.3.2. Faradayev zakon elektromagnetske indukcije

Izjava zakona

Faradayev zakon: ako se magnetski tok $\Phi$ kroz neku petlju mijenja u vremenu, onda se inducira elektromotorna sila (Naponska pobuda) $\mathcal{E}$:

$$\mathcal{E} = -\,\frac{d\Phi}{dt},$$

gdje je:

$$\Phi = \int \vec{B} \cdot d\vec{A}.$$

Minus označava Lenzovo pravilo - indukcija se protivi promjeni koja ju je uzrokovala.

Primjena

• Generator: vrtnja namotaja u magnetskom polju → promjena toka → izlazna izmjenična struja.
• Transformator: promjenjivo polje primarnog namota inducira napon u sekundarnom.

1.3.3. Gaussov zakon za magnetsko polje

Izjava zakona

Gaussov zakon za magnetno polje kaže:

$$\oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0.$$

Svojstvo “bez magnetskih monopola” - magnetske silnice su uvijek zatvorene.

---

1.4. Pravilo desne ruke

Primjena pravila desne ruke za magnetsko polje

• Ravni vodič: ako palac desne ruke pokazuje smjer struje, zakrivljeni prsti pokazuju smjer magnetskih silnica (okolnog polja).
• Solenoid (zavojnica): prsti prate smjer struje kroz namote, palac pokazuje smjer magnetskog polja unutar solenoida (od “S” polovi do “N” polova u drugom tumačenju ovisno o dogovoru).

Primjeri

1. Magnetsko polje oko vodiča: Koncentrične kružnice.
2. Magnetsko polje u zavojnici: gotovo homogeno unutar, linije izlaze na jednom kraju, ulaze na drugom.

---

1.5. Magnetska sila

Lorentzova sila

Lorentzova sila definira silu na nabijenu česticu $q$ (npr. elektron) koja se giba brzinom $\vec{v}$ kroz magnetsko polje $\vec{B}$:

$$\vec{F} = q \,(\vec{v} \times \vec{B}).$$

• Sila je okomita i na smjer gibanja i na magnetsko polje, što znači da magnetsko polje ne mijenja energiju čestice (nego samo skreće smjer brzine).

Magnetska sila na vodič

Ako vodič duljine $\vec{l}$ (vektor) u kojem teče struja $I$ uronimo u polje $\vec{B}$, sila glasi:

$$\vec{F} = I \cdot (\vec{l} \times \vec{B}).$$

---

Primjeri

Primjer 1: Primjena Ampereova zakona za ravni vodič

Tekst:
Ravni vodič nosi istosmjernu struju $I$. Naći magnetsku indukciju $B$ u točki koja je na udaljenosti $r$ od vodiča, u zraku.

Rješenje (skraćeni koraci):

1. Simetrija: polje je koncentrične kružnice oko vodiča.
2. Ampereova petlja: krug polumjera $r$ oko vodiča.
   • $\oint \vec{H}\cdot d\vec{l}= H \cdot(2\pi r)= I.$
   • $\implies H= \tfrac{I}{2\pi r}.$
     U zraku $\vec{B}=\mu_0 \vec{H}, \ \mu_0= 4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H/m}.$
3. Magnetska indukcija: $$B= \mu_0\frac{I}{2\pi r}.$$

---

Primjer 2: Faradayev zakon - indukcija u zavojnici

Tekst:
Zavojnica s $N$ namota, magnetski tok varira brzinom $\frac{d\Phi}{dt}$. Koja se EMS inducira?

Rješenje:

1. Faradayev zakon: $\mathcal{E}= -N\frac{d\Phi}{dt}$ (višestruki namoti).
2. Ako $\Phi(t)= \Phi_0\cos(\omega t)$, tad $\mathcal{E}(t)= -N(-\omega\Phi_0\sin(\omega t))= N\omega\Phi_0\sin(\omega t)$ itd.

---

Zaključak

• Magnetizam proizlazi iz gibanja naboja (struje ili orbitalno/spinsko kretanje).
• Magnetsko polje opisujemo $\vec{B}$ i $\vec{H}$.
• Osnovni zakoni:
  • Ampereov ($\oint \vec{H}\cdot d\vec{l}=I$),
  • Faradayev ($\mathcal{E}=-\tfrac{d\Phi}{dt}$),
  • Gaussov za magnetno polje ($\oint \vec{B}\cdot d\vec{A}=0$).
• Pravilo desne ruke pomaže u utvrđivanju orijentacije polja ili smjera sile.
• Magnetske sile: Lorentzova sila ($q(\vec{v}\times\vec{B})$) i sila na vodič ($I(\vec{l}\times\vec{B})$).

Vježbe

Auditorne vježbe: Magnetizam, magnetsko polje i Ampereov zakon

---

Kratki teorijski pregled

1. Magnetsko polje

   • Označavamo vektorsku veličinu magnetske indukcije kao $\vec{B}$ (u teslama, T).
   • U linearnom mediju povezana je s jakosti magnetskog polja $\vec{H}$ (u A/m) preko: $$\vec{B} = \mu_0 \mu_r \, \vec{H},$$ gdje je $\mu_0$ magnetska permeabilnost vakuuma, a $\mu_r$ relativna permeabilnost materijala.

2. Ampereov zakon (u integralnom obliku)

   • Kaže da je cirkulacija jakosti magnetskog polja $\vec{H}$ oko zatvorene petlje jednaka ukupnoj struji koja probija tu petlju: $$\oint \vec{H} \cdot d\vec{l} = I_{\text{uk}}.$$
   • Za vakuum ili zrak, često pišemo $$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{uk}}.$$

3. Magnetsko polje oko strujnog vodiča

   • Korištenje Ampereova zakona omogućuje nam da iz simetrije izračunamo $B$ (ili $H$) oko dugog ravnog vodiča, solenoida, toroidne zavojnice, itd.

4. Pravilo desne ruke

   • Za ravni vodič s istosmjernom strujom: Palac u smjeru struje, prsti pokazuju smjer zakrivljenih magnetskih silnica.

---

Zadatak 1: Magnetska indukcija oko beskonačno dugačkog ravnog vodiča

Tekst:
Vodičem (smatramo ga beskonačno dugačkim, ravnim i tankim) teče istosmjerna struja $I = 5 \,\mathrm{A}$. Naći magnetsku indukciju $B$ na udaljenosti $r=0.1\,\mathrm{m}$ od vodiča u zraku, koristeći Ampereov zakon.

Rješenje (korak po korak)

1. Odabir Amperove petlje

   • Zbog cilindra simetrije, uzimamo kružnu putanju polumjera $r$ (center na vodiču).
   • Veličina $B$ je konstantna po tom krugu, a smjer $\vec{B}$ je tangencijalan na kružnicu.

2. Pisanje Ampereova zakona

   • U zraku (ili vakuumu) vrijedi $\oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0 I$, gdje je $I$ struja koja probija tu petlju.
   • S obzirom da $B$ i $d\vec{l}$ imaju isti smjer (tangentni), i $B$ je stalan na kružnici polumjera $r$, dobijemo: $$B \oint dl = B\,(2\pi r)= \mu_0 I.$$

3. Rješavanje za $B$

   $$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}.$$

   Numerički, $\mu_0=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H/m}$, $I=5\,\mathrm{A}, r=0.1\,\mathrm{m}$.

   $$B= \frac{4\pi\times10^{-7}\times5}{2\pi\times0.1} = \frac{4\pi\times10^{-7}\times5}{0.2\pi} = \frac{20\pi\times10^{-7}}{0.2\pi} = \frac{20\times10^{-7}}{0.2} = 100\times10^{-7}=1\times10^{-5}\,\mathrm{T}.$$

   Dakle, $B= 1\times10^{-5}\,\mathrm{T}.$

Odgovor: $B=1\times10^{-5}\,\mathrm{T}$ na udaljenosti $0.1\,\mathrm{m}$ od vodiča.

---

Zadatak 2: Magnetsko polje unutar beskonačnog solenoida

Tekst:
Imamo solenoid duljine $L=1\,\mathrm{m}$ i $N=2000$ namotaja, kroz koji teče struja $I=2\,\mathrm{A}$. Pretpostavljamo idealan (beskonačni) solenoid. Odredite $B$ unutar solenoida.

Rješenje (korak po korak)

1. Gustoća namotaja: $n= \tfrac{N}{L}= \tfrac{2000}{1}=2000\,\mathrm{zavoja/m}.$
2. Unutar idealnog solenoida (u zraku): $$B=\mu_0 \, n \, I,$$ gdje $n$ je broj zavoja po duljini.
3. Numerički: $$B= 4\pi\times10^{-7}\times 2000\times 2= 4\pi\times10^{-7}\times4000.$$ $$4\pi\times10^{-7}\approx 12.566\times10^{-7}=1.2566\times10^{-6}.$$ Množimo s 4000: $1.2566\times10^{-6}\times4000= 5.0264\times10^{-3}= 0.005\,\mathrm{T}.$

Odgovor: $B\approx5\times10^{-3}\,\mathrm{T}.$

---

Zadatak 3: Ampereov zakon u toroidalnoj zavojnici

Tekst:
Toroidni jezgra ima $N=500$ zavoja, kružnog presjeka radijusa $R=0.05\,\mathrm{m}$. Ako teče istosmjerna struja $I=1\,\mathrm{A}$, naći $B$ unutar jezgre (pretpostavka: zrak ili niska permeabilnost).

Rješenje (korak po korak)**

1. Odabir Amperove petlje: koncentrična kružnica unutar toroidalnog namota, polumjera $R=0.05\,\mathrm{m}$.
2. Ampereova jednadžba: $$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}= B(2\pi R)= \mu_0\, N\,I$$ jer svih $N$ zavojnica “probija” tu petlju.
3. Rješavanje za $B$: $$B= \frac{\mu_0\,N\,I}{2\pi R}.$$ Numerički: $\mu_0=4\pi\times10^{-7}, N=500, I=1, R=0.05.$ $$B= \frac{4\pi\times10^{-7}\times500\times1}{2\pi\times0.05}= \frac{2\times10^{-4}\times500}{0.1\pi}\dots$$ ... i dalje brojčano izvesti.

---

Zadatak 4: Faradayev zakon i Ampereov zakon – kombinacija

Tekst:
Zavojnica (npr. solenoid) ima promjenjivu struju $I(t)$, pa time varira magnetsko polje. Pokažite kako se Faradayev zakon koristi za induciranu napon, dok Ampereov koristimo za polje. (Ostavit ćemo numerički primjer vježbaču.)

Rješenje (načelno)**

1. Ampereov za dobijanje $B(t)= \mu_0 n I(t)$ unutar solenoida.
2. Iz toga, magnetski tok $\Phi(t)= B(t)\cdot A$ (površina solenoida).
3. Faradayev: Inducirana $\mathcal{E}(t)= -N \frac{d\Phi}{dt}.$
4. Voditi računa o vremenskoj derivaciji $I(t).$

---

Zadatak 5: Lorentzova sila i određivanje radijusa gibanja elektrona

Tekst:
Elektron s nabojem $q=-1.6\times10^{-19}\,\mathrm{C}$, masom $m_e=9.11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}$ leti brzinom $v=3\times10^{6}\,\mathrm{m/s}$ okomito na homogeno polje $B=0.01\,\mathrm{T}$. Naći radijus kružne putanje.

Rješenje (korak po korak)**

1. Lorentzova sila: $F= qvB.$
2. Za kružno gibanje, centripetalna sila $F_c= \frac{m v^2}{r}.$
3. Jednakost: $\left| q\right|\,(vB)= \frac{m v^2}{r}.$
4. Rješavamo za $r$: $$r= \frac{m v}{\left| q \right| B}.$$
5. Numerički:
   • $m=9.11\times10^{-31}, v=3\times10^6, |q|=1.6\times10^{-19}, B=0.01.$
   $$r= \frac{9.11\times10^{-31}\times3\times10^6}{1.6\times10^{-19}\times0.01}$$ $$= \frac{2.733\times10^{-25}}{1.6\times10^{-21}}=1.708\times10^{-4}\,\mathrm{m}.$$ Oko $1.7\times10^{-4}\,\mathrm{m}.$

Odgovor: radijus ~ $1.7\times10^{-4}\,\mathrm{m}.$

---

Zaključak

• Magnetizam potječe od gibanja naboja.
• Magnetsko polje opisujemo $\vec{B}$ (Tesla).
• Ampereov zakon: $\oint \vec{H}\cdot d\vec{l} = I_{\text{uk}}$ – ključan za račun polja oko vodiča, solenoida i toroidâ.
• Faradayev zakon: promjena magnetskog toka inducira napon, a Gaussov zakon za $\vec{B}$ kaže da nema magnetskih monopola.
• Lorentzova sila (ili magnetska sila) utječe na gibanje nabijenih čestica/struja u magnetskom polju.

Ispit

Što opisuje Ampereov zakon u magnetskoj teoriji?

$\oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$

$\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi}{dt}$

$\oint \vec{H} \cdot d\vec{l} = I_{\text{uk}}$

$\oint \vec{D} \cdot d\vec{A} = Q_{\text{uk}}$

Kako se izračunava magnetska indukcija $B$ oko beskonačno dugačkog ravnog vodiča koji nosi struju $I$, koristeći Ampereov zakon?

$B = \mu_0 \frac{I}{2\pi r}$

$B = \mu_0 \frac{I}{r}$

$B = \frac{I}{2\pi \mu_0 r}$

$B = \mu_0 I r$

Koji od sljedećih izraza predstavlja integrirani oblik Ampereovog zakona u vakuumu?

$\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi}{dt}$

$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{uk}}$

$\oint \vec{D} \cdot d\vec{A} = Q_{\text{uk}}$

$\oint \vec{H} \cdot d\vec{A} = 0$

Koja je vrijednost magnetske indukcije $B$ unutar idealnog solenoida s gustoćom namotaja $n$, strujom $I$, koristeći Ampereov zakon?

$B = \mu_0 n I$

$B = \mu_0 n I \cdot l$

$B = \frac{\mu_0 n I}{2}$

$B = \mu_0 n I r$

Kako pravilo desne ruke pomaže u određivanju smjera magnetskog polja oko vodiča s istosmjernom strujom?

Palac pokazuje smjer polja, a prsti smjer struje.

Prsti pokazuju smjer polja, a palac smjer struje.

Palac i prsti pokazuju smjer polja.

Prsti i palac pokazuju smjer struje.

Koja formula se koristi za izračunavanje sile na električnu česticu koja se giba brzinom $\vec{v}$ u magnetskom polju $\vec{B}$, prema Lorentzovoj sili?

$\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$

$\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$

$\vec{F} = q(\vec{v} + \vec{B})$

$\vec{F} = q\vec{v} \cdot \vec{B}$

Koji je rezultat primjene Ampereovog zakona na toroidnu zavojnicu s $N$ namotaja i strujom $I$?

$B = \frac{\mu_0 N I}{2\pi r}$

$B = \mu_0 N I r$

$B = \frac{\mu_0 N I}{r}$

$B = \frac{\mu_0 N I}{2r}$

Kako Ampereov zakon primjenjuje pravilo desne ruke kod solenoida?

Palac pokazuje smjer polja unutar solenoida, a prsti smjer struje.

Prsti pokazuju smjer struje kroz namote, a palac smjer polja unutar solenoida.

Palac i prsti pokazuju smjer polja unutar solenoida.

Prsti i palac pokazuju smjer struje kroz namote.

Koja je formula za magnetsku indukciju $B$ oko toroidnog jezgra s brojem namotaja $N$, strujom $I$, i srednjim polumjerom $r$, koristeći Ampereov zakon?

$B = \frac{\mu_0 N I}{2\pi r}$

$B = \frac{\mu_0 N I}{r}$

$B = \mu_0 N I r$

$B = \frac{\mu_0 N I}{2r}$

Što Ampereov zakon implicira o magnetskom polju oko zatvorene petlje ako nema struja koja probija tu petlju?

$\oint \vec{H} \cdot d\vec{l} = 0$

$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I$

$\oint \vec{H} \cdot d\vec{A} = 0$

$\oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$

Kako se koristi Ampereov zakon za određivanje magnetske indukcije $B$ unutar idealnog solenoida?

$B = \mu_0 n I$

$B = \frac{\mu_0 n I}{2\pi r}$

$B = \mu_0 n I r$

$B = \frac{\mu_0 n I}{r}$