Teorija

11. Tjedan

• Lekcija: Sila u magnetskom polju, definicija ampera, Amperov zakon i elektromagnetska indukcija**

---

1. Sila u magnetskom polju

1.1.1. Lorentzova sila

Teorija (sažetak)

• Na nabijenu česticu (npr. elektron) naboja $q$ koja se giba brzinom $\vec{v}$ u magnetskom polju $\vec{B}$ djeluje Lorentzova sila:

$$\vec{F} = q\,(\vec{v} \times \vec{B}).$$

• Smjer odredimo “pravilom desne ruke”:
  • Ako je $q>0$, palac pokazuje $\vec{v}$, kazaljka $\vec{B}$, dlan daje $\vec{F}$.
  • Za $q<0$, sila je suprotnog smjera.

1.1.2. Sila na vodič u magnetskom polju

Teorija (sažetak)

• Ako imamo vodič duljine $\vec{l}$ (vektorski orijentiran prema smjeru protjecanja struje $I$) u homogeno polje $\vec{B}$, magnetska sila je:

$$\vec{F} = I \, (\vec{l} \times \vec{B}).$$

• Primjeri: Elektromotor (rotor), linearni motori, pogon vozila na magnetskoj podlozi itd.

Primjer 1: Određivanje radijusa kruženja elektrona

Tekst: Elektron naboja $q=-1.6\times10^{-19}\,\mathrm{C}$, mase $m=9.11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}$, giba se brzinom $v=2\times10^6\,\mathrm{m/s}$ okomito na homogeno polje $B=0.02\,\mathrm{T}$. Koliki je radijus kružne putanje?

Rješenje (korak po korak)

1. Lorentzova sila = centripetalna:
   $|q|\,(vB)= \frac{m v^2}{r}.$
2. Rješavamo za $r$:
   $r= \frac{m v}{|q|\,B}.$
3. Numerika:
   • $m=9.11\times10^{-31},\ v=2\times10^6,\ |q|=1.6\times10^{-19},\ B=0.02.$
   $$r= \frac{9.11\times10^{-31}\times 2\times10^6}{1.6\times10^{-19}\times0.02} = \frac{1.822\times10^{-24}}{3.2\times10^{-21}} \approx 5.69\times10^{-4}\,\mathrm{m}.$$ Oko $5.7\times10^{-4}\,\mathrm{m}$.

---

2. Definicija ampera

Teorija (sažetak)

• Amper (A) je osnovna jedinica jakosti električne struje u SI.
• Povijesna (magnetska) definicija: dva beskonačna paralelna vodiča, 1 m razmaka, u vakuumu, kad protječe struja 1 A kroz oba u istom smjeru, međusobna sila je $2\times10^{-7}\,\mathrm{N}$ po metru duljine.

Matematički iskaz:

$$F=\frac{\mu_0}{2\pi} \frac{I_1 I_2}{r} \times \ell\quad (\text{po dužini }\ell).$$

---

3. Amperov zakon

Teorija (sažetak)

• Ampereov zakon (integralni oblik) u magnetskoj statici:

$$\oint \vec{H}\cdot d\vec{l} = I_{\text{uk}},$$

gdje $I_{\text{uk}}$ označava ukupnu struju koja “probija” konturu.

• U vakuumu, $\vec{B}=\mu_0 \vec{H}$, pa:

$$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0\, I_{\text{uk}}.$$

Primjer 2: Polje oko beskonačnog vodiča

Već smo naveli formulu:

$$B= \frac{\mu_0 I}{2\pi r}.$$

Primjer 3: Polje unutar ideala solenoida

$$B= \mu_0\, n\, I,$$

gdje je $n$ broj zavoja po dužini.

---

4. Elektromagnetska indukcija

4.1. Faradayev zakon

Teorija (sažetak)
Faradayev zakon kaže da je inducirani napon $\mathcal{E}$ (EMS) u zatvorenoj petlji jednak negativnoj vremenskoj derivaciji magnetskog toka $\Phi$:

$$\mathcal{E} = -\,\frac{d\Phi}{dt}.$$

4.2. Primjer upotrebe

• Generator: promjenom kuta $\theta$ ili magnetskog toka dolazi do izmjeničnog napona.
• Transformator: promjena struje primara → promjena toka → napon u sekundaru.

Primjer 4: Inducirani napon u okretnoj petlji

Tekst: Petlja s $N=50$ zavoja i površine $A=0.01\,\mathrm{m^2}$ vrti se u homogeno polje $B=0.1\,\mathrm{T}$ s kutnom brzinom $\omega=30\,\mathrm{rad/s}$. Nađi amplitudu induciranog napona.

Rješenje (korak)

1. Tok: $\Phi(t)= B A N \cos(\omega t).$
2. Faradayev zakon: $\mathcal{E}(t)= -N \tfrac{d(BA\cos(\omega t))}{dt}= NB A \omega\sin(\omega t)$.
   • $N=50, B=0.1, A=0.01, \omega=30.$
3. Amplituda: $\mathcal{E}_\text{max}= N B A \omega= 50\times0.1\times0.01\times30= 50\times0.1\times0.3= 1.5\,\mathrm{V}.$

---

Zaključak

• Sila u magnetskom polju obuhvaća Lorentzovu silu (naboj + brzina + polje) i silu na strujne vodiče $(I \vec{l}\times\vec{B})$.
• Definicija ampera bazira se na magnetskoj sili između dvaju paralelnih vodiča (temelj SI definicije).
• Amperov zakon omogućuje računanje $B$ polja kod simetričnih geometrija (vodič, solenoid...).
• Elektromagnetska indukcija (Faradayev zakon) objašnjava inducirane napone pri promjeni magnetskog toka.

Vježbe

Auditorne vježbe: Biot-Savartov zakon i sila u magnetskom polju

---

1. Kratki teorijski podsjetnik

1.1. Biot-Savartov zakon

• Biot-Savartov zakon opisuje doprinos malog elementa vodiča $d\vec{l}$, kroz koji teče struja $I$, na magnetsko polje $d\vec{B}$ u nekoj točki.

$$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \,\frac{I\, d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3},$$

gdje je:

• $\mu_0$ – magnetska permeabilnost vakuuma,
• $\vec{r}$ – vektor od elementa vodiča prema točki u kojoj računamo polje, duljine $r$.

Za cijeli vodič, integriramo po duljini vodiča:

$$\vec{B}(\vec{R})= \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int \frac{d\vec{l}\times \vec{r}}{r^3}.$$

1.2. Sila u magnetskom polju

1. Lorentzova sila na nabijenu česticu: $\vec{F}= q(\vec{v}\times \vec{B})$.
2. Sila na element vodiča duljine $d\vec{l}$ s istosmjernom strujom $I$: $$d\vec{F}= I\,(d\vec{l}\times \vec{B}).$$
3. Ukupna sila na vodič dobije se integracijom ako se $\vec{B}$ i/ili geometrija vodiča mijenja.

---

2. Zadaci i rješenja

Zadatak 1: Biot-Savart – polje ravnog strujnog vodiča segmenta

Tekst:
Imamo vodič duljine $L=0.4\,\mathrm{m}$ (ravan segment), struja $I=5\,\mathrm{A}$. Točka $P$ je na udaljenosti $a=0.2\,\mathrm{m}$ okomito od sredine segmenta. Računati magnetsku indukciju $B$ u točki $P$ primjenom Biot-Savartova zakona (pretpostaviti zrak/vakuum, $\mu_0=4\pi\times10^{-7}$).

Rješenje (korak po korak)

1. Parametrizacija vodiča:

   • Smjestimo segment vodiča na osi $x$ od $-L/2$ do $+L/2$.
   • Točka $P$ neka bude na osi $y$ na udaljenosti $a=0.2\,\mathrm{m}$.
   • Elemenat $d\vec{l}$ je u smjeru osi $x$.

2. Vektor $\vec{r}$ i moduo

   • Za točku na $(x,0)$ vodiča i točku $P$ $(0,a)$: $$\vec{r}= (0 - x)\hat{i} + (a-0)\hat{j}= -x\hat{i}+ a\hat{j}.$$
   • $r= \sqrt{x^2+ a^2}$.

3. Biot-Savartov zakon:

   $$d\vec{B}= \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\, (d\vec{l}\times \vec{r})}{r^3}.$$

   • $d\vec{l} = dx\,\hat{i}$.

   • $d\vec{l}\times \vec{r}= dx(\hat{i}) \times(-x\hat{i} + a\hat{j})= dx( 0\hat{i}+ 0\hat{j}+ x\cdot a (\hat{k}))$ (provjeriti smjer).

   • Zapravo, $\hat{i}\times\hat{i}=0, \hat{i}\times\hat{j}=\hat{k}.$ S komponenta: $(dx)(a)$ or $-a$? Treba paziti: $(\hat{i}\times\hat{j})= \hat{k}$. $(-x\hat{i}+ a\hat{j})$.
     $d\vec{l}\times\vec{r}= dx\, \hat{i}\times(-x\hat{i}+ a\hat{j})= dx\,(0\hat{k}+ \dots).$ Dobije se $dx\,( a \hat{k} )$ ... plus prefaktor $x$? Provjerimo sporo:

     $$\hat{i}\times(-x\hat{i})= 0,\quad \hat{i}\times(a\hat{j})= a(\hat{i}\times\hat{j})= a\hat{k}.$$

     Dakle $d\vec{l}\times\vec{r}= dx\cdot a\hat{k}.$

4. Magnituda:

   $$|d\vec{B}|= \frac{\mu_0 I}{4\pi}\,\frac{dx\cdot a}{(x^2+ a^2)^{3/2}}.$$

   Smjer je u $\hat{k}$ ili $\hat{z}$ (izlazi iz ravnine).

5. Integracija po $x$ od $-L/2$ do $+L/2$:

   $$B= \int dB= \frac{\mu_0 I\, a}{4\pi}\,\int_{-L/2}^{+L/2}\frac{dx}{(x^2+ a^2)^{3/2}}.$$

6. Integral standardnog oblika:

   $$\int\frac{dx}{(x^2+ a^2)^{3/2}}= \frac{x}{a^2\sqrt{x^2+a^2}}.$$

7. Uvrstiti granice $-L/2$ i $+L/2$.

   $$B= \frac{\mu_0 I\, a}{4\pi}\,\left[\frac{x}{a^2\sqrt{x^2+a^2}}\right]_{-L/2}^{+L/2}.$$

   Numerika:

   $$B= \frac{\mu_0 I}{4\pi a}\,\left[\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\right]_{-L/2}^{+L/2}.$$

   Rezultat:

   $$B= \frac{\mu_0 I}{4\pi a}\left(\frac{\frac{L}{2}}{\sqrt{(\frac{L}{2})^2+a^2}} - \frac{-\frac{L}{2}}{\sqrt{(\frac{L}{2})^2+a^2}}\right).$$ $$= \frac{\mu_0 I}{4\pi a}\left(\frac{L}{\sqrt{\frac{L^2}{4}+a^2}}\right).$$ $$= \frac{\mu_0 I}{4\pi}\,\frac{L}{a\sqrt{\frac{L^2}{4}+a^2}}.$$

Potom numerički za $L=0.4, a=0.2, I=5,\dots$. Može se izvesti do brojčane vrijednosti.

---

Zadatak 2: Biot-Savartov zakon – polje polukružnog vodiča

Tekst:
Polukružni vodič polumjera $R$ (struja $I$). Tražimo magnet. indukciju u središtu luka.

Rješenje (korak umanjen)**

1. Parametriziramo polukružni luk, koristimo Biot-Savart, $d\vec{l}= R\, d\phi\, \hat{\phi}, \vec{r}= R\,\hat{\rho}$ itd.
2. Rezultat standardni: $B= \frac{\mu_0 I}{4R}\cdot \theta$ za neki luk $\theta$. Kod polukruga $\theta=\pi$, pa $B= \frac{\mu_0 I}{4R}\cdot \pi= \frac{\mu_0 I}{4R}\pi.$

---

Zadatak 3: Sila na segment vodiča u homog. polju

Tekst:
Segment vodiča duljine $l=0.2\,\mathrm{m}$, struja $I=3\,\mathrm{A}$, uronjen je u homogeno polje $B=0.05\,\mathrm{T}$, $\vec{l}$ okomito na $\vec{B}$. Naći silu i njezin smjer.

Rješenje (korak po korak)

1. Formula: $\vec{F}= I(\vec{l}\times \vec{B}).$
2. Ako su $\vec{l}$ i $\vec{B}$ okomiti, $F= I\, l\, B= 3\times0.2\times0.05= 0.03\,\mathrm{N}.$
3. Smjer po pravilu desne ruke – ako struja ide recimo u x-smjeru, polje u y, onda sila u z.

---

Zaključak

• Biot-Savartov zakon daje magnetsko polje od strujnog elementa. Može se integrirati za složene geometrije (pr. luk, segment, petlja).
• Sila u magnetskom polju:
  • Lorentzova sila na česticu $q(\vec{v}\times\vec{B})$.
  • Sila na vodič $I(\vec{l}\times\vec{B})$.

Ispit

Koji je izraz za **Lorentzovu silu** na nabijenu česticu $q$ koja se giba brzinom $\vec{v}$ u magnetskom polju $\vec{B}$?

$\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$

$\vec{F} = q(\vec{v} + \vec{B})$

$\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$

$\vec{F} = q\vec{v} \cdot \vec{B}$

Kako se računa magnetska indukcija $B$ u središtu polukružnog vodiča polumjera $R$ s istosmjernom strujom $I$ koristeći Biot-Savartov zakon?

$B = \frac{\mu_0 I}{4 R}$

$B = \frac{\mu_0 I}{2 R}$

$B = \frac{\mu_0 I \pi}{4 R}$

$B = \frac{\mu_0 I \pi}{2 R}$

Koja je formula za magnetsku silu $\vec{F}$ na element vodiča duljine $\vec{l}$ s istosmjernom strujom $I$ u homogeno magnetsko polje $\vec{B}$?

$\vec{F} = I \cdot (\vec{B} \times \vec{l})$

$\vec{F} = I \cdot (\vec{l} \times \vec{B})$

$\vec{F} = I \cdot \vec{B} \cdot \vec{l}$

$\vec{F} = I \cdot \vec{B} + \vec{l}$

Koja je formula za magnetsko polje $B$ oko beskonačno dugačkog ravnog vodiča koji nosi struju $I$ na udaljenosti $r$ koristeći Biot-Savartov zakon?

$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$

$B = \frac{\mu_0 I}{r}$

$B = \frac{\mu_0 I}{4\pi r^2}$

$B = \mu_0 I r$

Koji je izraz za **Amperov zakon** u integralnom obliku?

$\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$

$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{uk}}$

$\oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$

$\oint \vec{H} \cdot d\vec{A} = I_{\text{uk}}$

Kako se koristi **Biot-Savartov zakon** za izračunavanje magnetske indukcije $B$ u točki $P$ oko malog segmenta vodiča $d\vec{l}$ s istosmjernom strujom $I$?

$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \, d\vec{l} \times \vec{r}}{r^2}$

$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \, d\vec{l} \cdot \vec{r}}{r^3}$

$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \, d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}$

$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \, d\vec{l} + \vec{r}}{r^3}$

Što kaže **Amperov zakon** kada nema struja koje probijaju zatvorenu petlju?

$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = 0$

$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I$

$\oint \vec{H} \cdot d\vec{l} = I$

$\oint \vec{H} \cdot d\vec{l} = 0$

Kako se računa ukupna sila $\vec{F}$ na vodič s duljinom $\vec{l}$, strujom $I$ i uronjen u homogeno polje $\vec{B}$?

$\vec{F} = I \cdot (\vec{B} \times \vec{l})$

$\vec{F} = I \cdot (\vec{l} \times \vec{B})$

$\vec{F} = I \cdot \vec{B} \cdot \vec{l}$

$\vec{F} = I \cdot \vec{B} + \vec{l}$

Koja je formula za silu $\vec{F}$ na električnu česticu $q$ koja se giba brzinom $\vec{v}$ u magnetskom polju $\vec{B}$ koristeći Lorentzovu silu?

$\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$

$\vec{F} = q\vec{v} \cdot \vec{B}$

$\vec{F} = q(\vec{v} + \vec{B})$

$\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$

Kako se koristi **Biot-Savartov zakon** za izračunavanje magnetske indukcije $B$ oko beskonačno dugačke ravne zavojnice?

$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$

$B = \frac{\mu_0 I N}{2\pi r}$

$B = \frac{\mu_0 I N}{4 R}$

$B = \frac{\mu_0 I}{4\pi R}$

Koja je formula za radijus $r$ kružne putanje elektrona s nabojem $q$, masom $m$, brzinom $v$, i magnetskom indukcijom $B$, koristeći Lorentzovu silu?

$r = \frac{m v}{q B}$

$r = \frac{q B}{m v}$

$r = \frac{m v^2}{q B}$

$r = \frac{m}{q v B}$

Što predstavlja Biot-Savartov zakon u kontekstu magnetskog polja?

Opisuje vezu između magnetskog polja i magnetskih silnica

Opisuje doprinos malog strujnog elementa na magnetsko polje

Opisuje cirkulaciju magnetskog polja oko zatvorene petlje

Opisuje indukciju elektromotorne sile u promjenjivom magnetskom polju

Kako se koristi **Amperov zakon** za izračunavanje magnetskog polja unutar idealnog solenoida?

$B = \mu_0 n I$

$B = \frac{\mu_0 n I}{2\pi r}$

$B = \mu_0 n I r$

$B = \frac{\mu_0 n I}{r}$

Koji zakon opisuje induciranu elektromotornu silu kada se magnetski tok kroz zatvorenu petlju mijenja?

Ampereov zakon

Biot-Savartov zakon

Gaussov zakon za magnetsko polje

Faradayev zakon elektromagnetske indukcije