Teorija

13. Tjedan

• Lekcija: Sile na vodiče, zakretni moment i elektromagnetska indukcija

---

1.1. Sila na zakrivljeni vodič

Teorijski sažetak

• Magnetska sila na mali element vodiča $d\vec{l}$ (gdje struja teče u smjeru tog elementa) u magnetskom polju $\vec{B}$ je: $$d\vec{F} = I \,( d\vec{l} \times \vec{B} ).$$
• Za cijeli vodič, zbrajamo (integriramo) doprinose: $$\vec{F} = \int I \,( d\vec{l} \times \vec{B} ).$$
• Ako je polje homogeno i vodič relativno jednostavnog oblika, integracija se može olakšati.

Zadatak 1: Polukružni vodič u homogenom polju

Tekst:
Vodič oblika polukruga polumjera $R$ (plošno u ravnini $(x,y)$) vodi struju $I$. Homogeno polje $\vec{B}$ je usmjereno $\hat{z}$. Odrediti ukupnu silu na taj vodič (vektorski) i objasniti smjer.

Rješenje (korak po korak)

1. Parametrizacija vodiča:

   • Polukrug od $\phi=0$ do $\phi=\pi$.
   • Element $d\vec{l}= R\, d\phi\, \hat{\phi}$.

2. Sila za mali element:

   $$d\vec{F}= I\,(d\vec{l}\times \vec{B}).$$

   Ali $\vec{B}= B\,\hat{z}$.
   Gledajući smjer $d\vec{l}$ (tangentni) i $\hat{z}$, dobijemo vektorski produkt.

3. Provjera simetrije:

   • Često se otkrije da se radijalne komponente sile poništavaju parovima simetričnih točaka, pa ostaje tangencijalna/lateralna komponenta.
   • Za punu kružnicu - rezultanta je 0. Za polukrug, dobit ćemo neto silu u bočnom smjeru.

4. Numerički/lut: Možemo doći do zaključka da rezultirajuća sila prelazi nulu ili ne, ovisno o točnom rasporedu. Često za polukrug u homogenom $B$, rezultanta je različita od nule i ide duž osi $\pm x$ ili $\pm y$ (ovisno o orijentaciji).

(Ostavit ćemo detaljniju integraciju vježbaču. U nekim slučajevima, ispadne da sve tangencijalne komponente se zbroje i dobijemo neto silu.)

---

1.2. Sila na zatvorenu petlju

Teorijski sažetak

• Ukupna sila na zatvorenu krivulju (petlju) u homogenom polju obično je nula.
  Razlog: dijelovi vodiča razmješteni u različitim orijentacijama imaju sile koje se međusobno poništavaju (ako je polje homogeno).
• Međutim, zakretni moment nije nužno nula (vidi sljedeće poglavlje).

Zadatak 2: Pravokutna petlja u homogenom polju - provjeriti da je rezultanta sila nula

Tekst:
Strujna petlja je pravokutnog oblika $a\times b$, uronjena u $\vec{B}$ homogeno, struja $I$. Pokažite da se ukupna sila zbrajanjem sila na četiri stranice poništava.

Rješenje (koncept)

1. Računamo silu na svaku stranicu: $\vec{F_i}= I (\vec{l_i}\times \vec{B}).$
2. Zbog simetrije i suprotnih orijentacija, prednje i stražnje stranice daju suprotne sile, bočne stranice također.
3. Ukupno $\vec{F}_{\text{uk}}= \vec{0}.$

---

1.3. Zakretni moment i moment para sila na pravokutnoj petlji

Teorijski sažetak

• Zakretni moment na strujnu petlju površine $A$ i struje $I$ u polju $B$: $$\vec{M}= \vec{\mu}\times \vec{B}, \quad\text{gdje}\quad \vec{\mu}= I\, A\,\hat{n}.$$
• $\hat{n}$ je normal petlje.
• Veličina momenta: $M= \mu B \sin\theta$.

Zadatak 3: Moment na pravokutnoj petlji

Tekst:
Pravokutna petlja $a\times b$, struja $I$, polje $B$, os rotacije duž jedne stranice $a$. Pokazati da moment para sila iznosi $M= I\,b\,a\,B$ (za najpovoljniju orijentaciju).

Rješenje (korak)

1. Sile na bočne stranice su jednake i suprotne, ali djeluju u različitim linijama → par sila.
2. Poluga je $b/2 + b/2= b$, ako se vrti oko jedne duže stranice.
3. Rezultat: $M=F\,(\frac{b}{2}+\frac{b}{2})= (I a B) \times b= I a b B.$

---

1.4. Orijentacija svitka i magneta u magnetskom polju

Zadatak 4: Orijentacija ravne zavojnice

Tekst:
Imamo ravnu zavojnicu (N namota, struja $I$) u homogenom polju $B$. Koji je ravnotežni položaj?
Rješenje:

• Magnetski moment $\vec{\mu}= N I A\,\hat{n}.$
• Zakretni moment $\vec{M}= \vec{\mu}\times \vec{B}.$
• Ravnoteža kad se $\vec{\mu}$ poravna s $\vec{B}$ → $\sin\theta=0$. Najstabilniji položaj $\theta=0$.

---

1.5. Elektromagnetska indukcija

1.5.1. Faradayev zakon

$\mathcal{E} = -\tfrac{d\Phi}{dt}.$

Zadatak 5: Vodič klizi po tračnicama

Tekst:
Dva vodoravna vodiča (tračnice) razmaka $l$, vodič klizi brzinom $v$ okomito na homogeno polje $B$. Naći inducirani napon?

Rješenje:

1. Promjena magnetskog toka: $\Phi(t)= B \cdot (l \cdot x(t)), x(t)= v t.$
2. $\mathcal{E}= -\frac{d}{dt}(B l x)= -B l \frac{dx}{dt}= - B l v.$
3. Dakle $\mathcal{E}= B l v$ (smjer ovisi o Lenzovu pravilu).

---

Zaključci

• Sile na vodič: Integracija $I (\vec{l}\times \vec{B})$ ili argument simetrije → neto sila ili moment.
• Zakretni moment na petlju: $\vec{M}= \vec{\mu}\times \vec{B}.$
• Elektromagnetska indukcija: Faradayev zakon, $\mathcal{E}= -\tfrac{d\Phi}{dt},$ i brojne primjene (motori, generatori, klizni vodiči).

Vježbe

Auditorne vježbe: Elektromagnetska indukcija, napon pomicanja, sile na vodiče i induktivitet

---

Zadatak 1: Napon pomicanja (motional emf) u homogenom magnetskom polju

Tekst:
Imamo homogenó magnetsko polje $\vec{B}$ usmjereno prema stranici $\hat{z}$. Vodič duljine $l$ klizi u vodoravnoj ravnini brzinom $\vec{v}$ okomito na vodič i na polje. Prikažite kako se definira inducirani napon (napon pomicanja).

Rješenje (korak po korak)

1. Definicija napon pomicanja
   • Lorentzova sila na elektrone u vodiču: $$\vec{F}= q(\vec{v}\times \vec{B})$$
   • Pomiču se duž duljine $l$, razdvajaju naboje, pa se stvara razlika potencijala.
2. Formulski prikaz
   • Veličina elektromotorne sile (ems) ili napona: $$\mathcal{E} = B\, l\, v \quad (\sin 90^\circ =1).$$
3. Smjer:
   • Lenzovo pravilo / Lorentzova sila određuje koji kraj vodiča je pozitivan/negativan.
4. Primjer (numerički)
   • Ako $l=0.2\,\mathrm{m}, v=5\,\mathrm{m/s}, B=0.03\,\mathrm{T}$, tada $$\mathcal{E}= 0.03\times0.2\times5=0.03\,\mathrm{V}.$$

---

Zadatak 2: Faradayev zakon i promjena magnetskog toka

Tekst:
Zavojnica s $N=100$ zavoja i površinom $A=0.01\,\mathrm{m^2}$ rotira u homogenom polju $B=0.2\,\mathrm{T}$ s kutnom brzinom $\omega=10\,\mathrm{rad/s}$. Odredite izraz za induciranu elektromotornu silu $\mathcal{E}(t)$ i njenu amplitudu.

Rješenje (korak po korak)

1. Magnetski tok: $$\Phi(t)= N \,( B\,A\,\cos(\omega t)),$$ (pretpostavimo da se ravnina zavojnice zakreće s vremenom).
2. Faradayev zakon: $$\mathcal{E}(t)= - \frac{d\Phi}{dt} = - \frac{d}{dt}\bigl[ N\,B\,A \cos(\omega t)\bigr].$$
3. Derivacija: $$\mathcal{E}(t)= -N\,B\,A \,(-\omega \sin(\omega t)) = N\,B\,A\,\omega \sin(\omega t).$$
4. Amplituda: $$\mathcal{E}_{\text{max}}= N\,B\,A\,\omega.$$
5. Numerički (ako želimo):
   • $N=100,\ B=0.2,\ A=0.01,\ \omega=10.$
   $$\mathcal{E}_{\text{max}}= 100\times0.2\times0.01\times10= 100\times0.2\times0.1= 2\,\mathrm{V}.$$

---

Zadatak 3: Sila na vodič u homogenom magnetskom polju

Tekst:
Vodič duljine $l=0.5\,\mathrm{m}$ nosi istosmjernu struju $I=3\,\mathrm{A}$ i leži okomito na homogeno polje $B=0.04\,\mathrm{T}$. Odrediti veličinu sile i smjer.

Rješenje (korak po korak)

1. Formula: $$\vec{F}= I\,(\vec{l}\times\vec{B}).$$
2. Okomitost: ako su $\vec{l}$ i $\vec{B}$ okomiti, $$F= I\,l\,B= 3\times0.5\times0.04= 0.06\,\mathrm{N}.$$
3. Smjer: desna ruka – ako struja u x-smjeru, polje u y, tada sila ide u z-smjer.

---

Zadatak 4: Zavojnica (solenoid) – induktivitet

Tekst:
Dugački solenoid ima $N=400$ zavoja, duljinu $L=0.5\,\mathrm{m}$, presjek $A=0.002\,\mathrm{m^2}$. Pretpostavimo $\mu\approx\mu_0$. Naći induktivitet $L$ i energiju ako struja bude $I=2\,\mathrm{A}$.

Rješenje (korak po korak)

1. Induktivitet solenoida: $$L= \frac{\mu_0\,N^2\, A}{l}.$$
2. Numerika: $$\mu_0=4\pi\times10^{-7},\ N=400,\ A=0.002,\ l=0.5.$$ $$L= \frac{(4\pi\times10^{-7})\times(400)^2\times0.002}{0.5}.$$
   • $(400)^2=160000.$
   • $4\pi\times10^{-7}\approx1.2566\times10^{-6}.$
   $$L\approx \frac{1.2566\times10^{-6}\times160000\times0.002}{0.5}.$$ $$= \frac{1.2566\times 160000 \times0.002\times10^{-6}}{0.5}.$$ ... i račun do kraja, dobijemo recimo par milihenrija (ostavimo detalj).
3. Energija kad struja $I=2\,\mathrm{A}$: $$W= \frac12 L I^2.$$

---

Zadatak 5: Gustoća energije magnetskog polja

Tekst:
Solenoid s poljem $B=0.03\,\mathrm{T}$. Naći gustoću energije $u$ i totalnu energiju ako je volumen $V=0.01\,\mathrm{m^3}$.

Rješenje (korak po korak)

1. Gustoća energije: $$u= \frac{B^2}{2\mu}.$$ Za zrak/vakuum, $\mu=\mu_0=4\pi\times10^{-7}.$ $$u= \frac{(0.03)^2}{2\times4\pi\times10^{-7}}.$$
2. Ukupna energija: $$W= u\times V.$$ Numerički do željene preciznosti.

---

Zaključci

• Elektromagnetska indukcija: opisuje Faradayev zakon i napon pomicanja (motional emf).
• Sile na vodiče: $\vec{F}= I(\vec{l}\times\vec{B})$; ako vodič ima složenu geometriju, integriramo.
• Induktivitet i gustoća energije** magnetskog polja**: $L= \frac{\mu N^2 A}{l}, \quad u=\frac{B^2}{2\mu}$.
• Faradayev i Lenzov zakon temelj su za generatore, transformatore i većinu dinamičkih magnetskih fenomena.

Ispit

Koja je formula za **indukciju elektromotorne sile** ($\mathcal{E}$) prilikom pomicanja vodiča kroz magnetsko polje $\vec{B}$?

$\mathcal{E} = B \cdot l \cdot v \cdot \cos\theta$

$\mathcal{E} = B \cdot l \cdot v \cdot \sin\theta$

$\mathcal{E} = B \cdot l \cdot v$

$\mathcal{E} = \frac{B \cdot l \cdot v}{\sin\theta}$

Prema **Faradayevom zakonu elektromagnetske indukcije**, što inducira promjena magnetskog toka $\Phi$ kroz zatvorenu petlju?

Inducira promjenu magnetske indukcije $B$

Inducira elektromotoru silu $\mathcal{E}$

Inducira promjenu električne struje $I$

Inducira promjenu električnog polja $E$

Koji je izraz za **magnetni moment** $\vec{\mu}$ strujne petlje površine $A$ s brojem zavoja $N$ i strujom $I$?

$\vec{\mu} = N I A \hat{n}$

$\vec{\mu} = \frac{N I A}{\hat{n}}$

$\vec{\mu} = N I \vec{A} \times \hat{n}$

$\vec{\mu} = \frac{N I}{A} \hat{n}$

Kako se računa **induktivitet** $L$ zavojnice s brojem zavoja $N$, površinom $A$, dužinom $l$, i magnetskom permeabilnošću $\mu$?

$L = \frac{\mu N^2 A}{l}$

$L = \frac{\mu N A}{l^2}$

$L = \frac{\mu N^2}{A l}$

$L = \mu N^2 A l$

Koja je formula za **gustoću energije** magnetskog polja $u$ u odnosu na magnetsku indukciju $B$ i permeabilnost $\mu$?

$u = \frac{B^2}{2\mu}$

$u = \frac{\mu}{2B^2}$

$u = \frac{B}{2\mu^2}$

$u = \frac{2\mu}{B^2}$

Kako se računa **zakretni moment** $\vec{M}$ na strujnu petlju s magnetnim momentom $\vec{\mu}$ u magnetskom polju $\vec{B}$?

$\vec{M} = \vec{\mu} + \vec{B}$

$\vec{M} = \vec{\mu} \times \vec{B}$

$\vec{M} = \vec{\mu} \cdot \vec{B}$

$\vec{M} = \frac{\vec{\mu}}{\vec{B}}$

Koji zakon omogućuje izračunavanje magnetskog polja oko zakrivljenog vodiča integriranjem doprinosa svakog elementa vodiča?

Faradayev zakon

Ampereov zakon

Biot-Savartov zakon

Gaussov zakon za magnetsko polje

Prema **Lenzovom zakonu**, u kojem smjeru je inducirana struja u odnosu na promjenu magnetskog toka?

Inducirana struja pojačava promjenu toka

Inducirana struja je okomita na promjenu toka

Inducirana struja suprotstavlja se promjeni toka

Inducirana struja je paralelna s promjenom toka

Koja je formula za **elektromagnetsku silu** $\vec{F}$ na naboj $q$ koji se giba brzinom $\\vec{v}$ u magnetskom polju $\\vec{B}$, prema Lorentzovoj sili?

$\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$

$\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$

$\vec{F} = q\vec{v} \cdot \vec{B}$

$\vec{F} = q(\vec{v} + \vec{B})$

Kako se računa ukupna **sila** $\\vec{F}$ na zakrivljeni vodič s istosmjernom strujom $I$ u magnetskom polju $\\vec{B}$?

$\vec{F} = I \cdot \vec{B}$

$\vec{F} = I \cdot \vec{l} \times \vec{B}$

$\vec{F} = \int I \cdot (d\vec{l} \times \vec{B})$

$\vec{F} = I \cdot (\vec{l} \cdot \vec{B})$

Koja je formula za **energiju** $W$ pohranjenu u zavojnici s induktivitetom $L$ i strujom $I$?

$W = L I$

$W = \frac{1}{2} L I^2$

$W = L I^2$

$W = \frac{1}{2} L I$