Teorija

5. Tjedan

• Lekcija: Dielektrici u elektrostatičkom polju i energija nabijenog kondenzatora

---

1. Dielektrici u elektrostatičkom polju

1.1. Definicija dielektrika

Dielektrici su izolacijski materijali kroz koje praktički ne teče električna struja (nemaju slobodne noseće elektrone kao vodiči), ali se njihovi atomi ili molekule mogu polarizirati. U električnom polju dipolni se momenti dielektrika orijentiraju ili se induciraju nova razdvajanja naboja, što mijenja efektivnu jakost polja u materijalu.

• Polarizacija:
  Kada se dielektrik unese u električno polje, unutarnje molekule stvore dipolne momente koji generiraju unutarnje polje suprotnog smjera od vanjskog.
  Rezultat je smanjenje efektivne jakosti polja unutar materijala.

1.2. Relativna permitivnost ($\epsilon_r$)

• Relativna permitivnost, zvana i dielektrična konstanta materijala, kvantificira u kojoj se mjeri polje “smanjuje” kad je materijal prisutan umjesto vakuuma.
• U slučaju ravnog kondenzatora: $$C = \frac{\epsilon_r \,\epsilon_0 \, A}{d},$$ gdje $\epsilon_r$ povećava kapacitivnost u odnosu na vakuumsku kapacitivnost $\frac{\epsilon_0 A}{d}$.

1.3. Vrste dielektrika i primjene

• Linearni dielektrici: Polarizacija linearno ovisi o jakosti polja.
• Nelinearni dielektrici: Polarizacija ne raste linearno.
• Homogeni i nehomogeni: Homogeni imaju istu $\epsilon_r$ posvuda, kod nehomogenih varira po materijalu.
• Primjena:
  • Kondenzatori s dielektrikom (veća kapacitivnost).
  • Izolatori u električnim uređajima: manji gubici, zaštita od električnog preskoka.

1.4. Utjecaj dielektrika na energiju polja

• Polarizacija dielektrika znači da unutarnji dipoli djeluju s protupoljem. To snižava energiju sustava.
• Energija električnog polja (ili kondenzatora) u prisutnosti dielektrika općenito je manja nego u vakuumu za isti naboj i dimenzije.

---

2. Energija nabijenog kondenzatora

2.1. Pohrana energije

Punjenje kondenzatora $C$ na napon $V$ zahtijeva rad. Taj rad završi kao potencijalna energija električnog polja između ploča (ili unutar dielektrika).

Izraz za energiju

Najčešće se koristi formula

$$W = \frac{1}{2} C \, V^2,$$

gdje $W$ (u Džulima) označava energiju pohranjenu u kondenzatoru, $C$ je kapacitivnost, a $V$ je napon na kondenzatoru.

Mogu se koristiti i drugi oblici:

• Ako je kondenzator nabijen do naboja $Q$: $$W = \frac{Q^2}{2\,C}.$$
• Ako želimo iskazati u terminima polja $E$ (npr. za ravni kondenzator površine $A$ i razmaka $d$): $$W = \frac{1}{2}\,\epsilon \, E^2 \, A\, d,$$ gdje je $\epsilon = \epsilon_r \epsilon_0$.

2.2. Gustoća energije u električnom polju

U kontinuiranom pristupu, lokalna gustoća energije električnog polja $u$ jest

$$u = \frac{\epsilon E^2}{2},$$

što vrijedi i za dielektrike (s time da $\epsilon$ može varirati).

2.3. Utjecaj dielektrika na energiju

Ako je kondenzator spojen na stalan izvor napona $V$, unošenjem dielektrika raste $C$, a time raste i $Q$. Energija $W = \tfrac{1}{2}CV^2$ se povećava.
Ako je kondenzator odvojen od izvora (izolirani sustav), tada je $Q$ konstantan, a unošenjem dielektrika se smanjuje napon $V$, pa se smanjuje i $W = \tfrac{Q^2}{2C}$.

---

Primjeri

Primjer 1: Kondenzator s dielektrikom

• Ravni kondenzator: površina ploča $A= 0.05\,\mathrm{m^2}$, razmak $d=0.001\,\mathrm{m}$. Bez dielektrika kapacitet je $$C_0= \frac{\epsilon_0 A}{d}.$$
• Ako se ubaci dielektrik s $\epsilon_r=3$, tada $$C= 3 \times C_0.$$
• Ako kondenzator ostane spojen na izvor napona $V=100\,\mathrm{V}$, tada konačni naboj raste tri puta, a energija $W= \tfrac{1}{2} C V^2$ raste tri puta.

Primjer 2: Gustoća energije u ravnom kondenzatoru

• Za ravni kondenzator: $E= \tfrac{V}{d}$. Ako je u njemu dielektrik $\epsilon= \epsilon_r\epsilon_0$, onda $$u= \frac{\epsilon E^2}{2}= \frac{\epsilon (V/d)^2}{2}= \frac{\epsilon V^2}{2d^2}.$$
• Ukupna energija: $W= u \times (A\, d)= \tfrac{\epsilon A V^2}{2 d}$. Ali $\epsilon A / d$ upravo je $C$. Dakle $W= \tfrac{1}{2}CV^2$.

Primjer 3: Odvojeni kondenzator s dielektrikom

• Kondenzator s pločama $A, d$ i kapacitetom $C_0$. Naboj $Q_0$ i potencijal $V_0$. Sada ubacimo dielektrik $\epsilon_r$ bez spajanja na izvor.
• Novi kapacitet je $C= \epsilon_r C_0$. No naboj ostaje isti ($Q=Q_0$).
• Novi potencijal: $$V= \frac{Q_0}{C}= \frac{Q_0}{\epsilon_r C_0}= \frac{V_0}{\epsilon_r}.$$ Energija je $W= \tfrac{Q_0^2}{2C}= \tfrac{Q_0^2}{2\epsilon_r C_0}= \tfrac{W_0}{\epsilon_r}$, manja nego prije.

---

Zaključak

1. Dielektrici su izolatori s mogućnošću polarizacije u električnom polju. U kondenzatorima povećavaju kapacitivnost.
2. Energija polja ili kondenzatora može se računati raznim formulama: $W= \tfrac{1}{2}CV^2$, $\tfrac{Q^2}{2C}$ ili preko gustoće energije $u= \tfrac{\epsilon E^2}{2}$.
3. Unošenje dielektrika u kondenzator spojen na izvor napona povećava energiju, dok u kondenzatoru s konstantnim nabojem smanjuje energiju.
4. U praksi, dielektrici (keramika, plastika, staklo, papir) koriste se za izradu kondenzatora s određenim svojstvima te za izolaciju u električnim uređajima radi smanjenja gubitaka i zaštite.

Vježbe

Auditorne vježbe: Kapacitivnost, kondenzatori i dielektrici

---

Kratki teorijski podsjetnik

1. Kapacitivnost $C$ definira se kao omjer naboja $Q$ na vodiču i napona (razlike potencijala) $V$ tog vodiča (ili sustava, poput kondenzatora):

   $$C = \frac{Q}{V}.$$

2. Kondenzator je uređaj koji se sastoji od dvaju (ili više) vodiča razdvojenih izolacijom (dielektrikom).

   • Ravni pločasti kondenzator: ako su ploče površine $A$ i razmaka $d$, u vakuumu mu je kapacitet $$C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d}.$$
   • Ako se unese dielektrik s relativnom permitivnošću $\varepsilon_r$, tada $$C = \varepsilon_r \cdot C_0 = \frac{\varepsilon_r\,\epsilon_0\,A}{d}.$$

3. Energija kondenzatora:

   • Najčešći izraz: $$W = \frac{1}{2}\, C\, V^2.$$
   • Alternativno, $$W= \frac{Q^2}{2C},\quad \text{ili}\quad W= \frac{1}{2}\,\epsilon \, E^2 \, (\text{volumen}),$$ ovisno o tome što je zadano ($Q$, $V$ ili $E$).

4. Serijski i paralelni spoj kondenzatora:

   • Serijski: $\displaystyle \frac{1}{C_\text{uk}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots$
   • Paralelni: $C_\text{uk}= C_1 + C_2 + \dots$

5. Dielektrici:

   • Materijali koji se u električnom polju polariziraju (molekule se orijentiraju ili nastaju dipolni momenti).
   • Rezultat: smanjenje efektivne jakosti polja, povećanje kapaciteta, prilagodba energije sustava.

---

Zadatak 1: Kapacitet ravnog pločastog kondenzatora s dielektrikom

Tekst:
Ravni kondenzator ima ploče površine $A = 0.1\,\mathrm{m^2}$ i razmak $d=1\,\mathrm{mm}$ (u zraku).

1. Izračunajte kapacitet $C_0$ ako nema dielektrika (osim zraka, $\varepsilon_r \approx 1$).
2. Potom je unesen dielektrik s $\varepsilon_r=4$. Koji je novi kapacitet?
3. Ako je kondenzator spojen na stalan napon $V=100\,\mathrm{V}$, koliki će biti naboj na pločama u slučaju (a) i (b)?

Rješenje (korak po korak)

1. Kapacitet bez dielektrika

   • $\displaystyle C_0= \frac{\epsilon_0 A}{d}.$
   • Numerika: $\epsilon_0=8.854\times10^{-12}\,\mathrm{F/m},\, A=0.1,\, d=0.001.$ $$C_0= \frac{8.854\times10^{-12}\times0.1}{0.001}$$ $$= 8.854\times10^{-12}\times\frac{0.1}{0.001}$$ $$= 8.854\times10^{-12}\times100$$ $$= 8.854\times10^{-10}\,\mathrm{F}$$ $$=0.8854\,\mathrm{nF}.$$

2. Kapacitet s dielektrikom $\varepsilon_r=4$

   • $C= \varepsilon_r \cdot C_0= 4\times0.8854\,\mathrm{nF}=3.54\,\mathrm{nF}.$

3. Naboj pri spajanju na napon $V=100\,\mathrm{V}$

   • (a) Bez dielektrika: $Q_0= C_0\times V= (0.8854\times10^{-9})\times100= 8.85\times10^{-8}\,\mathrm{C}.$
   • (b) S dielektrikom: $Q=3.54\times10^{-9}\times100=3.54\times10^{-7}\,\mathrm{C}.$
   • Dakle, unošenje dielektrika povećava kapacitet 4 puta, pa raste i $Q$.

---

Zadatak 2: Energija kondenzatora i uvođenje dielektrika

Tekst:
Isti kondenzator iz prethodnog zadatka nije spojen na izvor napona. Najprije ga napunimo na $V=100\,\mathrm{V}$ (bez dielektrika), pa odspojimo izvor. Zatim uvodimo dielektrik s $\varepsilon_r=4$.

1. Koliki je početni naboj i energija?
2. Kolika je energija nakon uvođenja dielektrika?
3. Koliki je završni napon kondenzatora?

Rješenje (korak po korak)

1. Početni naboj (bez dielektrika) je jednak onome iz prethodnog zadatka (a), jer se napunio na $100\,\mathrm{V}$:

   $$Q_0= C_0 \times 100\,\mathrm{V}= 0.8854\times10^{-9}\times100=8.85\times10^{-8}\,\mathrm{C}.$$

   Početna energija:

   $$W_0= \frac{1}{2} C_0 (100)^2= \frac{1}{2}\times0.8854\times10^{-9}\times 10^4$$ $$= 0.5\times0.8854\times10^{-9}\times10^4$$ $$= 0.5\times0.8854\times10^{-5}$$ $$= 0.4427\times10^{-5}\,\mathrm{J}$$ $$=4.43\times10^{-6}\,\mathrm{J}.$$

2. Unošenje dielektrika uz konst. naboj $Q_0$:

   • Novi kapacitet $C= \varepsilon_r C_0=4\times C_0$.
   • Novi napon $V'= \frac{Q_0}{C}= \frac{Q_0}{4C_0}=\frac{1}{4}( \frac{Q_0}{C_0})= \frac{1}{4}\times100\,\mathrm{V}=25\,\mathrm{V}.$
   • Nova energija: $$W= \frac{Q_0^2}{2C}= \frac{Q_0^2}{2(4C_0)}= \frac{1}{4}\frac{Q_0^2}{2C_0}.$$ Ali $\frac{Q_0^2}{2C_0}$ je upravo $\displaystyle W_0$, pa je $W= \tfrac{1}{4} W_0$.
   • Numerika: $W= 0.25\times4.43\times10^{-6}=1.11\times10^{-6}\,\mathrm{J}.$

3. Završni napon je $25\,\mathrm{V}$ (kako je gore izračunano).
   Dakle, energija se smanjila 4 puta, napon pao 4 puta, jer je kapacitet narastao 4 puta, a $Q$ ostao isti.

---

Zadatak 3: Sferni kondenzator s dielektrikom

Tekst:
Imamo sferni kondenzator koji čine dvije koaksijalne sfere polumjera $R_1=0.1\,\mathrm{m}$ i $R_2=0.12\,\mathrm{m}$. Između njih je ispunjen dielektrik s $\varepsilon_r=2.5$. Izračunajte kapacitet:

$$C= 4\pi \varepsilon_0 \frac{R_1 R_2}{R_2 - R_1} \,\varepsilon_r.$$

Rješenje (skraćeni koraci)

1. Bez dielektrika formula je: $$C_0=4\pi\varepsilon_0 \frac{R_1 R_2}{R_2-R_1}.$$ Numerički se može izračunati ako je zadana $\varepsilon_0=8.854\times10^{-12}$.
2. S dielektrikom: $\displaystyle C= \varepsilon_r \times C_0.$
3. Primjer: $R_1=0.1, R_2=0.12, \varepsilon_r=2.5$.
   • $\displaystyle R_2-R_1=0.02.$
   • $\displaystyle R_1R_2=0.1\times0.12=0.012.$
   • $C_0= 4\pi \times 8.854\times10^{-12}\times\tfrac{0.012}{0.02}= 4\pi \times8.854\times10^{-12}\times0.6.$
   • Može se procijeniti; zatim množiti s $\varepsilon_r=2.5.$

---

Zadatak 4: Serijski spoj dvaju kondenzatora s dielektrikom

Tekst:
Dva ravna kondenzatora $C_1$ i $C_2$ spojena su serijski. Oba imaju razmak $d=1\,\mathrm{mm}$ i površinu $A=0.02\,\mathrm{m^2}$. Jedan je ispunjen dielektrikom $\varepsilon_{r1}=3$, a drugi $\varepsilon_{r2}=5$. Zahtijeva se:

1. Izračun ukupne kapacitivnosti.
2. Ako se cijeli serijski spoj priključi na $V=200\,\mathrm{V}$, kolika je energija pohranjena?

Rješenje (korak po korak)

1. Pojedinačni kapaciteti:
   • $C_1= \frac{\varepsilon_{r1}\,\epsilon_0\,A}{d}, \quad C_2= \frac{\varepsilon_{r2}\,\epsilon_0\,A}{d}.$
2. Serijski spoj: $$\frac{1}{C_\text{uk}}= \frac{1}{C_1}+ \frac{1}{C_2}.$$
3. Numerika: Umetnuti $\epsilon_0=8.854\times10^{-12}$.
   • $C_1= 3\times\frac{8.854\times10^{-12}\times0.02}{0.001}=$ …
   • $C_2= 5\times \dots$
     Zatim dobiti $C_\text{uk}$.
4. Energija: $$W= \frac{1}{2}\,C_\text{uk}\,(200)^2.$$

---

Zadatak 5: Gustoća energije u polju kondenzatora

Tekst:
Ravni kondenzator ($A=0.01\,\mathrm{m^2}$, $d=0.001\,\mathrm{m}$) s dielektrikom $\varepsilon_r=4$ spojen je na napon $V=500\,\mathrm{V}$.

1. Odredite gustoću energije $u$ (J/m$^3$) u prostoru između ploča.
2. Izračunajte ukupnu energiju $W$ kondenzatora.

Rješenje (korak po korak)

1. Jakost polja: $E= \tfrac{V}{d}= \tfrac{500}{0.001}= 5\times10^5\,\mathrm{V/m}.$
2. Efektivna $\epsilon= \varepsilon_r\epsilon_0=4\times8.854\times10^{-12}=3.54\times10^{-11}\,\mathrm{F/m}.$
3. Gustoća energije: $$u= \frac{1}{2}\,\epsilon E^2= \frac{1}{2}\times3.54\times10^{-11}\times(5\times10^5)^2.$$
   • $(5\times10^5)^2= 2.5\times10^{11}.$
   • Množenje: $3.54\times10^{-11}\times2.5\times10^{11}=3.54\times2.5\times10^{0}=8.85.$
   • Polovica toga: $4.425\,\mathrm{J/m^3}.$
4. Ukupna energija: $W= u\times(\text{volumen})=4.425\times(A\,d)=4.425\times(0.01\times0.001)=4.425\times10^{-5}\,\mathrm{J}.$
   Alternativno, $W=\tfrac12CV^2$.

---

Zaključci

• Kapacitivnost kondenzatora raste s površinom i relativnom permitivnošću dielektrika, a opada s razmakom.
• Dielektrici u elektrostatičkom polju polariziraju se, što omogućuje povećanje kapaciteta.
• Energija pohranjena u kondenzatoru ovisi o $C$ i $V$ (ili $Q$ i $V$). S dielektrikom, energija može rasti ili padati, ovisno o tome je li kondenzator spojen na izvor napona ili je izoliran (konstantan naboj).
• Gustoća energije polja $u= \tfrac12\,\epsilon\,E^2$ daje detaljan prikaz kako je energija raspodijeljena u prostoru.

Ispit

Kako se definira kapacitivnost $C$ kondenzatora?

$C = \frac{V}{Q}$

$C = V \times Q$

$C = \frac{Q}{V}$

$C = Q - V$

Koji je izraz za kapacitivnost ravnog pločastog kondenzatora s dielektrikom?

$C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$

$C = \frac{\epsilon_r \epsilon_0 A}{d}$

$C = \frac{\epsilon_r d}{\epsilon_0 A}$

$C = \epsilon_r \epsilon_0 A d$

Koji od sljedećih izraza predstavlja energiju $W$ pohranjenu u kondenzatoru s kapacitetom $C$ i naponom $V$?

$W = C V$

$W = C V^2$

$W = \frac{1}{2} C V^2$

$W = \frac{V^2}{2 C}$

Kako se ukupna kapacitivnost $C_{uk}$ kondenzatora u serijskom spoju računa?

$C_{uk} = C_1 + C_2$

$C_{uk} = \frac{C_1 + C_2}{2}$

$\frac{1}{C_{uk}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$

$C_{uk} = C_1 \times C_2$

Koja je relativna permitivnost $\\epsilon_r$ dielektričnog materijala?

Omjer kapacitivnosti kondenzatora s dielektrikom i bez dielektrika

Omjer električnog polja u dielektriku i vakuumu

Omjer naboja u dielektriku i vakuumu

Omjer napona u dielektriku i vakuumu

Kako se kapacitivnost kondenzatora mijenja kada se povećava površina ploča $A$?

Kapacitivnost opada

Kapacitivnost ostaje ista

Kapacitivnost raste

Kapacitivnost prvo raste pa opada

Koja svojstva vrijede za serijski spoj kondenzatora?

Kapacitivnost se zbraja

Kapacitivnost se smanjuje

Ukupan napon se dijeli

Obje opcije B i C su točne

Kako dielektrik s relativnom permitivnošću $\epsilon_r > 1$ utječe na kapacitivnost kondenzatora?

Smanjuje kapacitivnost

Povećava kapacitivnost

Ne utječe na kapacitivnost

Pravilo o kapacitivnosti ne vrijedi

Koji izraz najtočnije opisuje energiju pohranjenu u kondenzatoru kao funkciju polja $E$?

$W = \frac{\epsilon E^2}{2} \times \text{volumen}$

$W = \epsilon E^2 \times \text{volumen}$

$W = \frac{1}{2} \epsilon E \times \text{volumen}$

$W = \frac{1}{2} \epsilon E^2 \times \text{površina}$

Koji od sljedećih materijala je primjer dielektrika?

$\text{Bakar}$

$\text{Aluminij}$

$\text{Staklo}$

$\text{Srebro}$