Teorija

8. Tjedan

• Lekcija: Realni strujni krug, rad i snaga istosmjerne struje

---

1. Realni strujni krug, rad i snaga istosmjerne struje

1.1. Realni strujni krug

Definicija realnog strujnog kruga

Realni strujni krug nije samo idealni izvor i otpornik, nego uključuje:

• Unutarnji otpor izvora (npr. baterije),
• Potencijalne gubitke u vodičima,
• Otpor potrošača,
• Sveukupni gubici koji utječu na efikasnost.

Unutarnji otpor izvora

Svaki realni izvor ima unutarnji otpor $R_{\text{unut}}$. Ako izvor ima elektromotornu silu (EMS) $E$, ukupni (vanjski) napon na priključnicama izvora ovisi o struji $I$ kroz krug:

$$V = E - I \cdot R_{\text{unut}}.$$

• Ako je struja velika, pad napona $I \, R_{\text{unut}}$ isto može postati velik, pa “korisni” napon $V$ na vanjskim priključcima pada.

Efikasnost realnog strujnog kruga

Električna efikasnost $\eta$ opisuje omjer korisne (iskorištene) snage $P_{\text{korisna}}$ i ukupne snage $P_{\text{ukupna}}$:

$$\eta = \frac{P_{\text{korisna}}}{P_{\text{ukupna}}} \times 100\%.$$

Ako izvor ima unutarnji otpor, dio energije disipira se u tome otporu, pa se efikasnost smanjuje.

---

1.2. Rad istosmjerne struje

Definicija rada u električnom krugu

Električni rad $W$ jest energija prenesena električnim nabojima tijekom njihova gibanja kroz razliku potencijala $V$. Ako se naboj $Q$ (u coulombima) premjesti kroz napon $V$ (u voltima), rad je:

$$W = Q \cdot V.$$

Izračun rada pomoću struje

Budući da je $Q = I \cdot t$ (struja $I$ u amperima množi se s vremenom $t$ u sekundama daje naboj u coulombima), možemo pisati:

$$W = I \cdot V \cdot t.$$

Time dobijemo rad (u džulima) jer $\mathrm{A}\times\mathrm{V}\times\mathrm{s}=\mathrm{C}\times\mathrm{V}=\mathrm{J}$.

---

1.3. Snaga istosmjerne struje

Definicija snage

Električna snaga $P$ (u vatima, $\mathrm{W}$) definira se kao brzina obavljanja rada:

$$P = \frac{W}{t}.$$

U praksi, često:

$$P= V \cdot I.$$

Izvedeni izrazi za snagu

1. Ako rabimo Ohmov zakon $V=I R$, onda: $P = I^2 R.$
2. Ili $P= \tfrac{V^2}{R}$ kad radimo s naponom i otporom.

U realnom krugu, moramo uračunati gubitke u unutarnjim otporima.

Primjena snage u realnim krugovima

• Ukupna snaga isporučena izvorom: $P_{\text{ukupna}}= I \cdot E$ (kod idealne analize).
• Gubici u unutarnjem otporu: $P_{\text{gubici}}= I^2 \, R_{\text{unut}}.$
• Korisna snaga na opterećenju: $P_{\text{korisna}}= I^2 \, R_{\text{opterećenje}}$.
  • Alternativno $P_{\text{korisna}}= V_{\text{out}}\times I$, ako je $V_{\text{out}}$ napon na potrošaču.

---

1.4. Primjeri primjene

1. Analiza realnih baterija: Koliko se napon “spusti” pri velikim strujama, koliki su gubici?
2. Efikasnost u prijenosu električne energije: Visoki napon prijenosa, da bude struja manja, i time $I^2 R$ gubici manji.
3. Potrošnja energije: Mjerenje električne energije u kilovat-satima (kWh) — zapravo rad električne struje u vremenu.

---

Primjeri zadataka s rješenjima

Zadatak 1: Realni izvor s unutarnjim otporom

Tekst:
Imamo izvor s elektromotornom silom $E=12\,\mathrm{V}$ i unutarnjim otporom $r=2\,\Omega$. Spojimo otpornik $R=10\,\Omega$ kao opterećenje.

1. Kolika struja teče krugom?
2. Koliki je napon na opterećenju $R$?
3. Kolika je snaga disipirana u unutarnjem otporu i kolika u opterećenju?

Rješenje (korak po korak)

1. Ukupni otpor: $R_{\mathrm{uk}} = R + r= 10 + 2=12\,\Omega.$
2. Struja u krugu: $I= \tfrac{E}{R_{\mathrm{uk}}}= \tfrac{12}{12}=1\,\mathrm{A}.$
3. Napon na opterećenju: $V_R= I \cdot R=1\times10=10\,\mathrm{V}.$
4. Snaga na opterećenju: $$P_R= I^2 R= 1^2\times10=10\,\mathrm{W}.$$
5. Snaga gubitaka u unutarnjem otporu: $$P_r= I^2 r= 1^2\times2=2\,\mathrm{W}.$$ Ukupna snaga koju izvor daje je $P_{\text{ukupna}}= E\times I=12\times1=12\,\mathrm{W}.$
   • Provjera: $10 +2=12\,\mathrm{W}.$ Sve štima.

---

Zadatak 2: Rad i energija potrošača

Tekst:
Uz isti krug iznad, otpornik $R=10\,\Omega$ radio je 5 minuta. Koliki je ukupan rad (energija) potrošena na otporniku?

Rješenje (korak po korak)

1. Struja: Već znamo $I=1\,\mathrm{A}$.
2. Snaga: $P_R=10\,\mathrm{W}.$
3. Vrijeme: $t=5\,\text{min}=300\,\mathrm{s}.$
4. Rad: $W=P\times t= 10\times300=3000\,\mathrm{J}.$
   (Ili $3\,\mathrm{kJ}$.)

---

Zadatak 3: Maksimalna snaga na opterećenju

Tekst:
Izvor napona $E=9\,\mathrm{V}$ i unutarnji otpor $r=1\,\Omega$. Kolika je vrijednost otpornika $R$ (opterećenja) za koju će opterećenje dobivati maksimalnu snagu? Koja je ta snaga?

Rješenje (korak po korak)

1. Teorem maksimalnog prijenosa snage: Otpornik opterećenja treba biti jednak unutarnjem otporu izvora, $R=r=1\,\Omega.$
2. Struja kad $R=r=1\,\Omega$: $I= \tfrac{E}{r+R}= \tfrac{9}{1+1}=4.5\,\mathrm{A}.$
3. Napon na opterećenju: $V_R= I \cdot R=4.5\times1=4.5\,\mathrm{V}.$
4. Snaga u opterećenju: $P_R= I^2 R= (4.5)^2\times1=20.25\,\mathrm{W}.$

---

Zadatak 4: Izračun efikasnosti

Tekst:
Isti izvor $E=9\,\mathrm{V}, r=1\,\Omega$ i opterećenje $R=4\,\Omega$. Tražimo efikasnost $\eta$.

Rješenje (korak po korak)

1. Struja: $$I= \frac{E}{R+r}= \frac{9}{4+1}= \frac{9}{5}=1.8\,\mathrm{A}.$$
2. Snaga izvora (totalna): $$P_{\text{ukupna}}= E\times I=9\times1.8=16.2\,\mathrm{W}.$$
3. Snaga na opterećenju: $$P_{\text{korisna}}= I^2 R= (1.8)^2\times4=3.24\times4=12.96\,\mathrm{W}.$$
4. Efikasnost: $$\eta= \frac{12.96}{16.2}\times100\%\approx80\%.$$

---

Zadatak 5: Metoda konturnih struja s realnim izvorom

Tekst:
Mreža s 2 petlje, realnim izvorom (EMS $12\,\mathrm{V}$, unutarnji otpor $1\,\Omega$) i tri vanjska otpornika ($R_1, R_2, R_3$). Upotrijebite Kirchhoffove zakone (metodu konturnih struja) da odredite sve struje.

Rješenje (skraćeno)

1. Ekvivalentan prikaz izvora: Izvor $E=12\,\mathrm{V}$ i serijski $r=1\,\Omega$.
2. Definirajte konturne struje $I_{k1}$ i $I_{k2}$.
3. Napišite KZN u svakoj petlji, pazeći na otpor $r$ unutar jedne petlje, i otpornike $R_1, R_2, R_3$.
4. Riješite linearni sustav.
5. Dobivene konturne struje daju nam sve struje i napon na svakoj grani.

---

Zaključak

• Realni krugovi imaju unutarnje otpore i gubitke, pa napon i struja ovise o tim gubicima.
• Kirchhoffovi zakoni i Ohmov zakon omogućuju analizu i proračun struje, napona i snage u takvim krugovima.
• Rad i snaga u istosmjernim krugovima: $W= I\,V\,t$, $P= I\,V$ (i izvedenice).
• Uz metodu konturnih (petljnih) struja, rješavamo i složenije mreže, čak i s realnim izvorima i više čvorova, petlji.

Ispit

Kako unutarnji otpor $R_{\text{unut}}$ izvora napona utječe na napon $V$ na vanjskim priključcima kada struja $I$ teče kroz krug?

$V = E + I \cdot R_{\text{unut}}$

$V = E - I \cdot R_{\text{unut}}$

$V = \frac{E}{I} - R_{\text{unut}}$

$V = E \cdot I \cdot R_{\text{unut}}$

Što predstavlja efikasnost $\eta$ realnog strujnog kruga?

$\eta = \frac{P_{\text{gubici}}}{P_{\text{korisna}}} \times 100\%$

$\eta = \frac{P_{\text{korisna}}}{P_{\text{ukupna}}} \times 100\%$

$\eta = \frac{P_{\text{ukupna}}}{P_{\text{korisna}}} \times 100\%$

$\eta = P_{\text{korisna}} + P_{\text{gubici}}$

Kako se računa električni rad $W$ prenesen u krugu ako struja $I$ teče kroz napon $V$ tijekom vremena $t$?

$W = I + V + t$

$W = I \cdot V + t$

$W = I \cdot V \cdot t$

$W = \frac{I \cdot V}{t}$

Koji izraz najbolje opisuje snagu $P$ u otporniku s otporom $R$ i strujom $I$ kroz njega?

$P = I \div R$

$P = I \cdot R$

$P = I^2 \cdot R$

$P = \frac{I^2}{R}$

Što se događa sa efikasnošću $\eta$ realnog strujnog kruga ako se poveća unutarnji otpor izvora $R_{\text{unut}}$ bez promjene korisnog otpora $R$?

Efikasnost raste

Efikasnost opada

Efikasnost ostaje ista

Efikasnost prvo raste pa opada

Kako se računa ukupna snaga $P_{\text{ukupna}}$ u realnom strujnom krugu s korisnom snagom $P_{\text{korisna}}$ i gubitkom snage $P_{\text{gubici}}$?

$P_{ ext{ukupna}} = P_{\text{korisna}} - P_{\text{gubici}}$

$P_{ ext{ukupna}} = P_{\text{korisna}} \cdot P_{ ext{gubici}}$

$P_{ ext{ukupna}} = P_{\text{korisna}} + P_{\text{gubici}}$

$P_{ ext{ukupna}} = \frac{P_{ ext{korisna}}}{P_{\text{gubici}}}$

Prema teoremu maksimalnog prijenosa snage, koliki otpor $R_L$ opterećenja treba biti u odnosu na unutarnji otpor $R_{\text{unut}}$ izvora za maksimalnu snagu?

$R_L = 0$

$R_L = R_{ ext{unut}}$

$R_L = 2 \cdot R_{\text{unut}}$

$R_L = \frac{R_{\text{unut}}}{2}$

Kako se računa korisna snaga $P_{\text{korisna}}$ u otporniku $R$ ako je struja $I$ kroz njega?

$P_{\text{korisna}} = V \cdot I$

$P_{\text{korisna}} = I^2 \cdot R$

$P_{\text{korisna}} = \frac{V^2}{R}$

Sve navedeno

Što se događa sa radom $W$ u krugu ako se poveća struja $I$ dok se napon $V$ održava konstantnim?

Rad opada

Rad ostaje isti

Rad raste

Rad prvo raste pa opada

Kako se računa efikasnost $\eta$ ako je korisna snaga $P_{\text{korisna}} = 50\,\mathrm{W}$ i ukupna snaga $P_{\text{ukupna}} = 80\,\mathrm{W}$?

$\eta = \frac{50}{80} \times 100\% = 62.5\%$

$\eta = \frac{80}{50} \times 100\% = 160\%$

$\eta = \frac{50 + 80}{2} = 65\%$

$\eta = \frac{80 - 50}{80} \times 100\% = 37.5\%$