Teorija

9. Tjedan

• Lekcija: Linearne električne mreže istosmjerne struje i elektrostatičke mreže

---

1. Linearne električne mreže istosmjerne struje

1.1. Definicija linearne mreže

Linearne električne mreže su one u kojima se primjenjuju linearni elementi poput otpornika (Ohmov zakon linearan: $V = I \cdot R$), idealnih izvora napona i struje.
U njima vrijede superpozicija i mogućnost modeliranja cijele mreže linearnim jednadžbama.

1.2. Osnovni principi analize linearnih mreža

1. Ohmov zakon:

   $$V = I \cdot R$$

   gdje je $V$ napon na otporniku, $I$ struja kroz otpornik, a $R$ otpor (u ohmima).

2. Kirchhoffovi zakoni:

   • Kirchhoffov zakon struje (KZS): Zbroj ulaznih struja u čvor jednak je zbroju izlaznih struja. $$\sum I_{\text{ulaz}} = \sum I_{\text{izlaz}}$$
   • Kirchhoffov zakon napona (KZN): U zatvorenoj petlji zbroj svih padova i porasta napona jednak je nuli. $$\sum V = 0$$

1.3. Metode analize mreža

1. Metoda čvornih napona

   • Koristi $KZS$ (Kirchhoffov zakon struje) za čvorove (osim referentnog).
   • Definiraju se nepoznati čvorni naponi, pišu se jednadžbe struja iz/ u čvoru.

2. Metoda petljinih (konturnih) struja

   • Koristi $KZN$ (Kirchhoffov zakon napona) za svaku nezavisnu petlju.
   • Nepoznate su struje definirane u petljama (konturne struje).
   • Linearno rješavanje dobijenih jednadžbi.

1.4. Theveninov i Nortonov teorem

• Thevenin: Svaka linearna mreža, gledano iz dvaju terminala, može se zamijeniti idealnim naponskim izvorom $E_{\text{Th}}$ u seriji s otporom $R_{\text{Th}}$.
• Norton: Ekvivalentno, svaka linearna mreža može se zamijeniti idealnim strujnim izvorom $I_{\text{N}}$ paralelno s otporom $R_{\text{N}}$.
• Transformacije i ekvivalenti pomažu pri pojednostavljenju i analizi mreže.

1.5. Superpozicijski princip

Ako mreža ima više izvora, ukupni napon/struja u bilo kojem elementu jednak je zbroju doprinosa od svakog izvora zasebno (pri čemu su ostali izvori zamijenjeni njihovim unutarnjim otporom: naponski izvori kortsluirani, strujni otvoreni).

1.6. Rješavanje složenih mreža

Konačno, da bismo izračunali struje i napone:

1. Napišemo linearne jednadžbe (npr. metodom čvornih napona ili petljinih struja),
2. Riješimo sustav linearnih jednadžbi,
3. Dobijemo rješenja za sve nepoznate struje i napone.

1.7. Primjena linearnih mreža

• Projektiranje istosmjernih napajanja (DC): npr. raspored otpornika, naponski djelitelji, regulatori.
• Jednostavni električni sklopovi: LED s otpornikom, motor s pogonskim krugom, itd.

---

2. Elektrostatičke mreže

2.1. Definicija elektrostatičke mreže

Elektrostatička mreža sadrži elemente koji pohranjuju energiju u električnom polju – prvenstveno kondenzatore. U takvim mrežama:

• Glavne su veličine: naboj $(Q)$ i potencijal $(V)$.
• U stacionarnom (konačnom) stanju nema kontinuiranog toka struje (osim tijekom punjenja/pražnjenja kondenzatora).

2.2. Osnovne značajke

1. Električni naboji i potencijali:
   • U elektrostatičkim uvjetima, napon se definira kroz razlike potencijala; kondenzatori su raspodijeljeni po mreži.
2. Nema kontinuirane struje u idealnom stacionarnom slučaju, jer kondenzator ne “troši” stalnu struju.

2.3. Elementi elektrostatičke mreže

1. Kondenzatori: Pohranjuju električnu energiju $W = \tfrac12 C V^2$ (ili s drugim formulama).
2. Dielektrici: Povećavaju kapacitivnost, gdje $\varepsilon_r$ određuje faktor povećanja.

2.4. Kapacitivnost u serijskom i paralelnom spoju

• Serijski spoj kondenzatora: $$\frac{1}{C_{\text{uk}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots$$
• Paralelni spoj kondenzatora: $$C_{\text{uk}} = C_1 + C_2 + \dots$$

2.5. Primjena Kirchhoffovih zakona na elektrostatičke mreže

1. Kirchhoffov zakon napona: Kod raspodjele potencijala unutar mreže kondenzatora.
2. Kirchhoffov zakon naboja: U čvoru, ukupni naboj mora biti očuvan (npr. superpozicija naboja + i -).

2.6. Energija elektrostatičke mreže

Ako je mreža ekvivalentan kondenzator $C_{\text{uk}}$ na naponu $V$, energija je:

$$W = \frac12 C_{\text{uk}}\, V^2.$$

U raspodijeljenoj mreži, možemo računati energiju svake grane i sumirati.

2.7. Primjena elektrostatičkih mreža

• Visokofrekventni krugovi (npr. u radiotehnici) – kapacitivne i induktivne mreže.
• Pohrana energije u bankama kondenzatora (za impulse energije).

---

Primjeri zadataka

Zadatak 1: Metoda čvornih napona u DC mreži

Tekst:
Mreža ima 2 čvora (osim referentnog), 3 otpornika, 1 izvor napona.

1. Definirajte čvorne napone $V_1, V_2$.
2. Napišite KZS za svaki čvor s pripadnim otpornicima i izvorom.
3. Riješite linearni sustav i nađite struje kroz otpornike.

(Prepušta se vježbaču da numerički završi, a postupak je ključan.)

---

Zadatak 2: Petljine struje u DC mreži s 2 izvora

Tekst:
Dva izvora napona i 3 otpornika, 2 nezavisne petlje.

1. Definirajte petljine struje $I_{k1}$ i $I_{k2}$.
2. Za svaku petlju: zapišite KZN, pazeći na raspored otpornika (ako su zajednički, struja je razlika petljinih struja).
3. Riješite sustav i dobijte struje.

---

Zadatak 3: Kombinirana mreža s kondenzatorima

Tekst:
Mreža (elektrostatička) s 3 kondenzatora, nekim naponima i dielektricima:

• $C_1$ i $C_2$ u paraleli, a to spojeno serijski s $C_3$.
• Traži se: ukupna kapacitivnost $C_{\text{uk}}$.
• Ako je mreža na $V=100\,\mathrm{V}$, izračunajte energiju.

Rješenje (korak po korak)

1. Paralelni dio: $C_{p}= C_1 + C_2$.
2. Serija s $C_3$: $\displaystyle \frac{1}{C_{\text{uk}}}= \frac{1}{C_{p}} + \frac{1}{C_{3}}$.
3. Energija: $W= \tfrac12 C_{\text{uk}} \, (100)^2.$

---

Zadatak 4: Naboji i naponi u mreži kondenzatora

Tekst:
Raspored 2 kondenzatora $C_1, C_2$, razni čvorovi i poznati ukupni napon.

1. Upotrijebiti “čvornu analizu” ali sada s naboji i naponima.
2. KZN: zbroj potencijala u petlji = 0.
3. Riješiti za napone na svakom kondenzatoru i potražiti naboje.

---

Zadatak 5: Superpozicija u linearnoj DC mreži

Tekst:
Mreža s dva izvora napona $E_1, E_2$, tri otpornika $R_1, R_2, R_3$ i tražimo struju kroz $R_2$.

1. Primjenom superpozicije, ugasiti najprije $E_2$ (staviti kratki spoj ako je idealni naponski izvor) i računati struju od $E_1$.
2. Potom ugasiti $E_1$ i računati doprinos od $E_2$.
3. Zbrojiti doprinos struja.

---

Zaključak

• Linearne električne mreže DC: Koristimo Kirchhoffove zakone, Ohmov zakon, superpoziciju te Thevenin/ Norton teoreme.
• Elektrostatičke mreže: Sastoje se od kondenzatora i raspodijeljenih kapaciteta, gdje se analiza fokusira na potencijale i naboj, te primjenjuje odgovarajuće spojeve (serija, paralela).
• Ovi koncepti temelj su za projektiranje elektroničkih sklopova i razumijevanje raspodjele napona, struja i energije (u DC mrežama i kondenzatorskim sustavima).

Vježbe

Auditorne vježbe: Metoda superpozicije, Theveninov teorem, Millmanov teorem i prijenos maksimalne snage

---

1. Metoda superpozicije

Kratka teorija

U metodi superpozicije pretpostavljamo da u mreži postoje višestruki izvori (napona ili struje). Struja ili napon u nekom elementu mreže dobiva se zbrajanjem doprinosa svakog izvora ponaosob, pri čemu se:

• Ostali naponski izvori (idealni) zamijene kratkim spojem (jer $V=0$),
• Ostali strujni izvori (idealni) zamijene otvorenim krugom (jer $I=0$).

Na kraju se svi parcijalni rezultati zbroje (po znaku).

Primjer zadatka 1

Tekst:
Mreža s dva idealna izvora napona $E_1=12\,\mathrm{V}$ i $E_2=6\,\mathrm{V}$, tri otpornika $R_1=2\,\Omega$, $R_2=4\,\Omega$, $R_3=6\,\Omega$, spojeni tako da $R_1$ i $R_2$ dijele čvor s izvorima (skica prepuštena vama). Potrebno je izračunati struju kroz $R_2$ metodom superpozicije.

Rješenje (korak po korak):

1. Kad je aktivan $E_1$ i ugašen $E_2$:

   • Izvor $E_2=6\,\mathrm{V}$ → zamjenjuje se kratkim spojem (naponski izvor = 0 V).
   • Onda riješiti struje/naponske padove. Recimo dobijemo struju $I_{R2}^{(1)}$.

2. Kad je aktivan $E_2$ i ugašen $E_1$:

   • Izvor $E_1=12\,\mathrm{V}$ → zamjenjuje se kratkim spojem.
   • Riješiti novi krug → dobijemo struju $I_{R2}^{(2)}$.

3. Ukupna struja kroz $R_2$:

   $$I_{R2}= I_{R2}^{(1)} + I_{R2}^{(2)}.$$

(Numeričke vrijednosti prema rasporedu, uz KZS/KZN. Konačni zbroj daje odgovor.)

---

2. Theveninov teorem

Kratka teorija

Theveninov teorem kaže da se bilo koja linearna električna mreža, gledano iz dvaju terminala, može zamijeniti s:

1. Idealnim naponskim izvorom $E_{\text{Th}}$,
2. Serijskim otporom $R_{\text{Th}}$.

Tzv. Theveninov ekvivalent mreže. Za dobivanje:

• $R_{\text{Th}}$: ugasimo sve izvore (naponski → kratki spoj, strujni → otvoreni krug), gledamo ekvivalentni otpor.
• $E_{\text{Th}}$: napon na tim terminalima kad su otvoreni (ili superpozicijom + mjerenje).

Primjer zadatka 2

Tekst:
Imamo mrežu s tri otpornika i dva izvora napona. Želimo vidjeti “gledajući” dva izlazna priključka ($A$,$B$), kakav je Theveninov ekvivalent (npr. radimo proračun struje potrošača koji se prikači na $A,B$).

Rješenje (korak po korak):

1. Nađi $R_{\text{Th}}$: Ugasimo izvore:

   • Naponski izvori → kratki spojevi, strujni izvori → prekid kruga.
   • Gledamo otpore u mreži “viđene” s terminala $A,B$. To je $R_{\text{Th}}$.

2. Nađi $E_{\text{Th}}$:

   • Ili metodom “otvoreni krug” (nema opterećenja) i izračunaj napon na $A,B$ ili superpozicijom.
   • Rezultat: $E_{\text{Th}} = \dots$ (neka vrijednost).

3. Theveninov ekvivalent: idealni izvor $E_{\text{Th}}$ u seriji s $R_{\text{Th}}$.

   • Potom, ako se priključi otpornik $R_L$, možemo lako analizirati struju i napon.

---

3. Millmanov teorem

Kratka teorija

Millmanov teorem (tzv. “teorem višestrukih izvora”) kaže da se više paralelno spojenih izvora napona s različitim otporima mogu objediniti u jedan ekvivalentni izvor napona. Formula za ekvivalentni napon $V_m$ i ekvivalentni otpor $R_m$ se dobije zbrajanjem “strujnih” doprinosa.

• Tipična formula (ako su izvori $E_1, E_2, \dots$ s pripadnim serijskim otporima $R_1, R_2,\dots$ sve zajedno paralelno): $$V_m= \frac{\frac{E_1}{R_1} + \frac{E_2}{R_2}+ \dots}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}+ \dots},\quad \frac{1}{R_m}= \frac{1}{R_1} + \dots$$

Primjer zadatka 3

Tekst:
Tri izvora napona $E_1=10\,\mathrm{V}, E_2=6\,\mathrm{V}, E_3=12\,\mathrm{V}$ svaki ima serijski otpor $R_1=2\,\Omega, R_2=3\,\Omega, R_3=4\,\Omega$. Spojeni su paralelno na iste dvije stezaljke. Upotrijebite Millmanov teorem da dobijete jedinstveni ekvivalentni izvor ( $V_m, R_m$).

Rješenje (korak po korak):

1. Po definiciji: $$V_m= \frac{\frac{E_1}{R_1} + \frac{E_2}{R_2}+ \frac{E_3}{R_3}}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}+ \frac{1}{R_3}},\quad \frac{1}{R_m}= \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}+ \frac{1}{R_3}.$$
2. Numerički izračun:
   • npr. $E_1/R_1= 10/2=5$, $E_2/R_2=6/3=2$, $E_3/R_3=12/4=3$.
   • Zbroj: $5+2+3=10$.
   • $\tfrac{1}{R_1}= \tfrac12= 0.5, \tfrac{1}{R_2}= \tfrac13=0.333.., \tfrac{1}{R_3}=\tfrac14=0.25.$ Zbroj = $1.0833..$.
   • $\displaystyle V_m= \dfrac{10}{1.0833..}\approx9.23\,\mathrm{V}.$
   • $\displaystyle \frac{1}{R_m}=1.0833 \implies R_m= \frac{1}{1.0833}\approx0.92\,\Omega.$
3. Time dobijemo jedinstveni izvor $(V_m, R_m)$.

---

4. Prijenos maksimalne snage

Kratka teorija

Da bi opterećenje (otpornik $R_L$) primilo maksimalnu snagu iz izvora s unutarnjim otporom $R_{\text{unut}}$, mora vrijediti:

$$R_L = R_{\text{unut}}.$$

Tad je snaga $P_{\text{max}}= \tfrac{E^2}{4R_{\text{unut}}}$ (ako se radi o idealnom izvoru + serijskom $R_{\text{unut}}$ i $R_L$).

Primjer zadatka 4

Tekst:
Imamo izvor $E= 9\,\mathrm{V}$ s unutarnjim $r=1.5\,\Omega$, koji opterećujemo promjenjivim otpornikom $R_L$.

1. Koja vrijednost $R_L$ daje maksimalnu snagu?
2. Kolika je ta snaga?

Rješenje (korak po korak):

1. Maks. snaga kad $R_L= r=1.5\,\Omega.$
2. Struja tad: $I= \tfrac{9}{1.5+1.5}= \tfrac{9}{3}=3\,\mathrm{A}.$
3. Snaga na $R_L$: $P_{L,\text{max}}= I^2 R_L= 3^2\times1.5= 9\times1.5=13.5\,\mathrm{W}.$
   Ili formula $\tfrac{E^2}{4r} = \tfrac{9^2}{4\times1.5}= \tfrac{81}{6} =13.5\,\mathrm{W}.$

---

Zaključak

1. Metoda superpozicije: Isključujemo sve izvore osim jednog, zbrajamo doprinose → koristan kad je više izvora.
2. Theveninov teorem: Bilo koja linearna mreža promatrana s dviju točaka može se “smanjiti” na naponski izvor serijskog otpora.
3. Millmanov teorem: Poseban slučaj spajanja više izvora napona paralelno, daje formulu za jedinstven ekvivalentni izvor.
4. Prijenos maksimalne snage: Nastupa kad je opterećenje jednako unutarnjem otporu (u slučaju jednostavne sheme naponskog izvora + serijski otpor).

Ispit

Koja je glavna ideja **metode superpozicije** u linearnoj električnoj mreži s više izvora?

Zbrajamo sve izvore u jedan ekvivalentni izvor kako bismo pojednostavili mrežu

Razmatramo samo jedan izvor, dok su svi ostali izvori isključeni, i zbrajamo zasebne doprinose

Mijenjamo sve naponske izvore njihovim unutarnjim otporima

Ne koristimo Kirchhoffove zakone već samo Ohmov zakon

Kako prema **Theveninovom teoremu** možemo zamijeniti složenu linearnu mrežu gledanu iz dviju točaka?

Jednim strujnim izvorom u paraleli s otpornikom

Idealnim naponskim izvorom u seriji s jednim kondenzatorom

Idealnim naponskim izvorom u seriji s jednim otporom

Jednim naponskim izvorom u paraleli s jednim otporom

Koja je formula **Millmanovog teorema** za ekvivalentni napon $V_m$ kod više naponskih izvora u paralelnom spoju?

$V_m = \sum \frac{E_i R_i}{R_i}$

$V_m = \frac{\sum (\frac{E_i}{R_i})}{\sum (\frac{1}{R_i})}$

$V_m = \sum (E_i + R_i)$

$V_m = \frac{1}{\sum R_i} \sum E_i$

Prema teoremu o maksimalnoj snazi, kada je snaga na opterećenju najveća?

Kada je otpor opterećenja neograničen

Kada je otpor opterećenja dvostruko manji od unutarnjeg otpora izvora

Kada je otpor opterećenja jednak unutarnjem otporu izvora

Kada je otpor opterećenja jednak nuli

Kako se rješavaju struje u mreži kada primjenjujemo **metodu superpozicije**?

Zbrajamo struje svakog izvora, dok su ostali izvori zamijenjeni kratkim spojevima bez razlike

Za svaki izvor uklanjamo ostale (naponske -> kratak spoj, strujne -> otvoren krug) i izračunamo struju, zatim ih zbrojimo

Svi izvori se ostavljaju aktivnima, ali struje se dijele na dva dijela

Uklanjamo potpuno sve izvore i gledamo samo otpornike

Kakav izvor i otpor čine **Nortonov ekvivalent** neke mreže?

Naponski izvor i serijski otpor

Naponski izvor i paralelni otpor

Strujni izvor i paralelni otpor

Strujni izvor i serijski otpor

Što kaže teorem o prijenosu maksimalne snage u pogledu izlaznog napona kod izjednačenja otpora opterećenja i unutarnjeg otpora izvora?

Napon na opterećenju bit će jednak nuli

Napon na opterećenju iznosi polovicu elektromotorne sile izvora

Napon na opterećenju bit će dvostruk od elektromotorne sile izvora

Napon na opterećenju nije određen teoremom o maksimalnoj snazi

Kako izračunavamo ekvivalentni napon $E_{\text{Th}}$ pri pronalaženju Theveninovog ekvivalenta složene linearne mreže?

Zatvorimo sve naponske izvore i otvorimo strujne izvore

Odaberemo otvorene priključke i izračunamo napon na njima (npr. metodom čvorova), dok nema opterećenja

Zamijenimo sve otpornike kratkim spojem

Primijenimo teorem o maksimalnoj snazi

Koja je formula za ekvivalentnu impedancu ako četiri naponska izvora u paraleli transformiramo pomoću Millmanova teorema?

$\frac{1}{Z_m} = \sum \frac{1}{Z_i}$

$\frac{1}{Z_m} = \sum Z_i$

$Z_m = \frac{1}{\sum (E_i / R_i)}$

$Z_m = \frac{V_m}{I_m}$

Kako se u praksi primjenjuje teorem o maksimalnoj snazi kod odabira opterećenja?

Uvijek biramo opterećenje s najvećim otporom

Uvijek biramo opterećenje s najmanjim otporom

Biramo opterećenje čiji je otpor jednak unutarnjem otporu izvora

Teorem o maksimalnoj snazi ne primjenjuje se u praksi